基于多目标优化算法的并联机构综合设计

丁锐，曹毅

(1. 江南大学 机械工程学院，江苏 无锡 214122； 2. 上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室，上海 200240；3. 江苏省食品先进制造装备技术重点实验室，江苏 无锡 214122)

0 引言

并联机构具有高刚度、高精度、承载能力强、反应速度快等优点[1]，因此适用于如纳米级微动机构、传感器设备等诸多宏观与微观领域。近年来，少自由度并联机构的设计研究[2-4]已经成为并联机构领域中重要的研究方向和前沿技术。对适用于传感器的新结构，对具有高精度、高速度等性能的结构设计研究也是世界各国争先研究的传感器技术课题之一。但是并联机构的性能受其几何参数的影响非常大，也影响了并联机器人的广泛运用。因此在并联机构设计中，选择一套合理的几何设计参数来达到期望的、最佳的性能是特别重要的。并联机构的尺寸优化设计在机构设计这个领域，总是最具有挑战性的课题之一。

目前对于并联机构的尺寸综合研究，有运用代数法针对工作空间[5]、条件数[6]等单方面进行尺寸综合。因此，尺寸综合也需要考虑多个变量对多种目标函数的影响，从而有效提高并联机构的性能。现有的综合方法大多数是采用传统的优化设计方法，存在着优化效果不明显、优化方案不可行等问题。因此，根据Delta[7-9]并联机构的特征，结合一般传感器结构的性能指标。设计多组优化方案，对多目标尺寸综合的方法进行研究，为适用于传感器设备等诸多领域提供技术支持。

1 理论基础

1.1 综合方法

尺寸综合是实现并联机构运动学设计的最终目标，具体考虑动平台需要实现的能力例如运动灵活度、精度等，并兼顾工作空间、支链干涉多种因素，以其中某种性能最优为目标，求出最合适的尺度参数。

针对并联机构设计参数多的问题，采取目标函数的综合方法。其核心是将所有需要考虑的目标转化为目标函数，能够解决传统方法不能解决设计参数过多的问题。利用优化算法在设计参数的可能解空间搜索出使目标函数值最佳的设计参数。

1) 优化算法

由于传统的优化方法不仅需要目标函数的数值，还需要其他辅助信息，例如导数值才能进行搜索和优化。针对传统优化方法的缺陷，采用遗传算法[10]作为优化算法。其将目标函数直接转化为适应度函数。由于其进化特质，遗传算法可以处理实际问题中非常复杂的设计问题。

表1所示是遗传算法GA的优化参数设置，包括初始种群的数量、最大遗传代数、变异率和代沟率的设定。其中变量数目则根据实际机构设定，Delta机构变量数目则定为3。

表1 优化参数

2) 约束处理

在遗传算法中，核心是适应度函数的建立。在尺寸综合的过程中，通常会有约束条件。由于约束条件在遗传算法中无法直接运用，需将有约束的优化问题转化为无约束的优化问题，进而构造适应度函数，并根据流程实现优化问题的求解。

求解约束优化的方法包括罚函数法、梯度投影法、网格法等。其中罚函数法的应用最广泛。罚函数法的核心就是将约束和目标函数融合为新的函数，也就是将有约束转变为无约束。所以针对上述问题采用罚函数法进行约束处理。

综上，提出采用目标函数、罚函数法和遗传算法的多目标尺寸优化作为机构尺寸设计的方法。

1.2 研究对象简介

以少自由度并联机构中适用于高速场合的Delta机构为研究对象，其三维仿真模型如图1所示。

图1 三维模型

该机构由动静平台和3条完全一致的支链组成。在每条支链上，定杆下端与下面的静平台以转动副连接，平行四边形机构及定杆和上面的动平台均以转动副连接。该机构结构简洁易分析[7]91，可知其具有3个自由度，因为其中3组平行四边形机构消除了动平台的转动自由度，只保留了空间3个平动自由度。

1) 雅可比矩阵

因为雅可比矩阵是对机构进行运动学、静力学、动力学、误差等研究的一个重要参考，所以尺寸综合必须先进行雅可比矩阵求解。雅可比矩阵是动平台在笛卡尔空间内运动速度与驱动关节速度之间的映射。

机构输入和输出之间的关系式如下所示。

(1)

根据雅可比矩阵的定义，整理并简化式(1)得到雅可比矩阵：

J=JQ-1Jq

(2)

(3)

(4)

式中JQ、Jq分别表示约束方程对输出位移和输入驱动角的偏导。

2) 性能指标

为了衡量机构设计的好坏，需要定义目标函数的评价标准。其中衡量并联机构上某一位置运动灵巧度的值为局部条件数k，公认雅可比矩阵的范数是条件数，具体表达式如式(5)：

(5)

为了更全面进行机构设计，还需考虑机构的速度指标。而衡量机构速度大小的值为速度极值，定义为矩阵JTJ的最小特征值的开方。其中J为上节雅可比矩阵。除了上述运动学性能，机构的刚度性能不仅能影响机构的动态特性，而且决定机构在负载下的定位精度，因此刚度是机构非常重要的设计指标。对于1个机械系统，机构的刚度矩阵为S=K(JTJ)，K为系统变形系数；因此可以利用刚度矩阵的特征数值作为衡量机构刚度性能的性能指标。

定义刚度矩阵的条件数Ks为刚度指标，具体表达式如式(6)：

(6)

因此，得到3个衡量机构性能的评价指标。

2 尺寸综合实例

多个要求即需要设计多个目标，让所有目标都达到最小，几乎是不可能的事。基于以上问题，提出将优化目标按照重要性进行分类，主要分为4类：必要性能(优化约束)、最优性能、重要性能、次要性能。 根据工程实际确定性能的重要性，基于权重系数变换法对于需要优化的多个目标，分别赋予权重wi。wi的大小表示目标的重要程度，对多目标进行求解。

下面针对多种具体设计要求，采用上述优化方法对Delta机构进行尺寸综合。

2.1 基本参数

a) 机构参数

设定Delta机构的设计变量：X=[R,L1,L2]T，其中:R为动静平台半径差，L1和L2分别为机构驱动杆和从动杆杆长。根据工程实际，设定Delta机构的初始参数：L1=72cm，L2=50cm，R=1cm。

b) 设计条件

设定需要设计的必要条件。

1) 将工作空间设定为必要性能，设定其工作空间≥50 cm3(以50 cm为半径的球体空间)。

2) 设定机构动平台优化的具体位姿P0(0,0,50)，表示目标函数需在P0处达到最小值。

c) 约束条件

生产实际中，存在很多因素影响机构运行，所以设计需满足以下条件。

1) 机构总体尺寸需在合理的范围，杆件之间的轴线距离应该大于杆件的直径，并且机构上需要安装电机，所以需满足条件：驱动杆L1≥L1min。L1min为杆件直径的最小值，可得约束1：

y1=L1min-L1≤0

(7)

2) 因为铰链的转动是有限制的，不能超过一定的值，所以存在约束：θi<θmax。θmax为铰链转动角的最大值，可得约束2：

y2=θi-θmax<0

(8)

除上述条件，Delta综合设计模型还需要具体的设计要求。

2.2 双目标优化

a) 双目标优化模型

考虑到实际应用中，机构会广泛应用到各种环境，所以对设计而言就需要多样化。基于上述结论，方案1以灵巧度k、刚度最优为目标。由上节性能指标和设定条件可知方案1的目标函数：

(9)

式(9)表示分别以条件数最小和刚度条件数最小的2个目标函数。基于设计多样性，对性能指标进行分类。此方案以条件数为最优性能，则其数量级系数n1=1，权重系数w1=0.7；以速度极值为重要性能，则其数量级系数n2=106，权重系数w2=0.3。因此，得到适应度函数：

(10)

上述为方案1的优化数学模型。

b) 结果分析

根据双目标优化数学模型，利用遗传算法对Delta并联机构进行方案1的优化设计，最终得到尺寸参数。对运行结果进行圆整，将优化后的圆整结果与优化前数值进行对比分析，对比结果如表2所示；优化过程中解和种群均值随迭代次数而变化的过程如图2所示。分析结果可总结如下：

1) 由表2与图2可知，方案1的优化设计结果与优化前数值相比，条件数k减小到3.025 6，刚度条件数ks减小到3.451 7e+03；

2) 将遗传算法优化得到的优化变量代入约束条件函数式当中，均能够满足约束条件的要求；

3) 如图2所示方案1经过1 000次迭代，种群对环境的适应能力逐渐提高，适应度函数最佳值最终趋于平稳，并且其优化速度非常高。

表2 双目标优化结果

图2 双目标优化过程

2.3 三目标优化

a) 三目标优化模型

为了更好更全面地设计机构的结构参数，方案2以灵巧度k、速度极值、刚度最优为目标，相比双目标优化多了速度极值为最优的条件。

因此其目标函数由3个性能指标构成，具体如式(11)：

(11)

式(11)表示求条件数最小、刚度条件数最小以及速度极值倒数最小的解。根据性能分类，以条件数为最优性能，其数量级系数n1=1，权重系数w1=0.5；以刚度为重要性能，其数量级系数n2=106，权重系数w2=0.3。以速度极值为次要性能，其数量级系数n3=106，权重系数w3=0.2。因此，得到适应度函数：

(12)

上述为三目标优化数学模型。

b) 结果分析

利用遗传算法对Delta并联机构进行方案2的优化设计，根据三目标优化数学模型进行尺寸综合，优化过程与结果如图3、表3所示。

图3 三目标优化过程

表3 三目标优化结果

分析结果可总结如下：

1) 由图3与表3可知，方案2的优化设计结果与优化前数值相比，条件数k减小到4.525 7，刚度条件数ks减小到1.515 2e+05，速度极值增大到118.383 0。

2) 遗传算法优化得到的优化变量代入约束条件函数式当中，均能够满足约束条件的要求。

3) 如图3所示经过1 000次迭代，和方案1类似种群对环境的适应能力逐渐提高，适应度函数最佳值最终趋于平稳，而优化速度相比方案1则有所下降。

3 结语

以Delta并联机构为研究对象，针对不同设计要求，提出以性能要求分类为前提基于遗传算法和目标函数的尺寸综合方法。以实例验证了综合方法的可行性。方案1和方案2综合出双目标和三目标为最优的Delta机构，并且保证其符合工作过程中设定的约束。

后续可以考虑动力学方面的性能和更多方面的约束，进一步深入研究本课题。本文研究有利于提高并联机构的性能，为传感器新结构提供理论依据及技术支持。