美国小学数学教学中的问题提出及启示——以West Park Place Elementary School为例

于文华，蔡金法，刘美玲，张凌云



美国小学数学教学中的问题提出及启示——以West Park Place Elementary School为例

于文华1，蔡金法2，刘美玲1，张凌云1

（1．山东师范大学 数学与统计学院，山东 济南 250014；2．美国特拉华大学 数学系，纽瓦克 19716）

为考察美国小学教学中的“问题提出”如何融入到数学教学中这一问题，以美国特拉华州West Park Place Elementary School小学为例，观摩了一堂数学课和数学RTI（response to intervention）教学，并分析了作业与练习中的问题提出模式．以此为出发点，探讨对中国小学数学教学的启示．主要有4点启示：（1）融入课堂不是梦；（2）与问题解决相伴相形，相得益彰；（3）数学意义与实际情境的双向建构；（4）评价何须要定量．

问题提出；数学课程；课程改革；小学数学；问题解决

1 引言

“问题提出”在世界范围内受到数学教育研究者的广泛关注，美国数学教师理事会对数学问题提出给予了充分的重视，认为学生应该“能在数学领域和数学领域之外，在不同的广泛情境下提出有趣的问题”，教学指导活动应该加强学习问题提出技能（NCTM，2000）[1]．在美国《学校数学课程与评价标准》（1989）、《数学教学的职业标准》（1991）、《学校数学教育的原则与标准》（2000）等文件中都明确提出了增加“问题提出”活动的教学要求与任务[2]．对于此处“问题提出”的理解，Stickles P认为，《学校数学教育的原则与标准》（2000）强调“提出问题”活动，应该是基于一个情境或是经验提出的[3]．

中国的《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》和《普通高中数学课程标准（实验）》对问题提出从知识与技能，评价方式建议，学习方式，教学建议等多方面进行了论述[4-5]．很多学者比较了不同数学教材中的问题提出，例如，胡典顺、蔡金法等[2]通过比较人民教育出版社两个版本的小学数学教材（1994年版和2004年版），发现尽管两种教材中涉及问题提出的数学问题在类别、教学环节、内容领域方面的分布显著不同，但可喜的是2004年版中涉及问题提出的数学问题的百分比高于1994年版．然而，进一步研究发现，这种提高可能更多的是因为增加的内容领域“数据与统计”中的问题提出相对较多．

中国学生相比美国学生在解决问题方面的表现有很大的优势，但其问题提出的表现却没有优势，甚至劣势[6]．那么，在课堂教学与练习任务中，美国数学教师是否给予了学生更多的问题提出的机会？他们的课堂教学是如何在保证数学知识教学的前提下，给予学生问题提出的机会，又如何做到有效的融通呢？这是当前数学教学所欠缺和需要学习的．带着这个问题，研究者切实进入美国小学数学课堂，并对小学数学教师进行有针对性的采访，希望对中国的小学课堂教学有某种启示．

在对于美国小学数学教学一线的田野考察中，不难发现，学生的数学学习可以分为课堂之内与课堂之外，而课堂之内的数学学习又可以分为课堂学习与数学RTI（response to intervention）时间，课堂之外的数学学习主要是各种作业与练习．从而，选择3个侧面分别考察其中的问题提出环节，即美国小学数学课堂教学中的“问题提出”，以“问题提出”为主题的数学RTI教学，美国小学数学作业与练习中的“问题提出”．3者之间，以课堂教学为基本，在此基础上设计针对问题提出为主题的RTI教学，用以诊断学生对所学内容的认识程度并因此反馈而提出干预，以期达到更好的教学效果．课后针对作业与练习中问题的提出，旨在进一步巩固所学模式．

2 田野考察1：美国小学数学课堂教学中的“问题提出”

2.1 背景介绍

克里斯蒂娜学区（Christina School District）是特拉华州的一个公立学区，西公园小学（West Park Place Elementary School）是一所公立全美蓝勋带学校（National Blue Ribbon School），具有明显的基督教学风．

与中国的教学体制不同，美国小学实行教师班级负责制，每班一位主要教师，这位教师会教授这个班级除体育、美术之外的几乎全部学科，即并非全职数学教师．并且办公室与教室一体，教室的课桌椅随老师决定如何排列．或者组团排列，方便学生讨论，或者专用讨论桌分布两边，供上课用的课桌椅居中．小学包括学前班与一~五年级，五年级有两个班级．五年级的两个班级数学教学进度与内容大相径庭，五年级入学初始，依据学生水平，分为一个数学高层次班级，一个低层次班级．

此次课堂观摩活动是在数学高层次班级，教师是Mrs. Tina Kaczmarczyk，中年女教师，10年以上教学经验．在一个周三，从上午8:00开始到上午10:00结束．8:00—8:30为预备与校训时间，8:30—9:30为课堂正式时间，9:30—9:55为数学RTI时间，中间没有休息时间．

2.2 课堂实录

（1）给出分数减法问题，鼓励学生提出实际问题．

师：能根据这个分数减法提出具有实际背景的问题吗？（在教师的引导下，学生纷纷提出例如披萨等的一些问题．）

（2）利用迁移法引导学生解决问题．

师：这与我们以前学的减法有何不同？和你的同伴交流．（引导学生发现，通分后分数部分不够减．）

师：怎么办呢？想一想31-9是怎么解决的?（引出借位的概念，引导学生把借一当十迁移到此处．）

师生共同试着给出解答过程与答案．

（3）利用录像教学，深化解题原理．

（4）模式总结，引导学生自己模仿提出符合数学意义的问题．

教师试着与学生一起对两道题进行对比，找出题目的共同特点，那就是借位分数减法，总结出解决此类问题的方法．之后，顺势问学生，你们互相给同伴出一道题目，让对方解答．

学生尝试之后，教师进一步解释，要想给出的题目用到借位的概念，必须是分数部分不够减，于是用到分数的大小比较问题．

（5）变式解题，引导同学共同解决各种实际情境中的问题．

2.3 课堂教学中教师对学生问题提出任务的评价

数学课堂观摩中，教师Mrs. Tina Kaczmarczyk对于课堂中学生提出的数学问题，总是给予即时的正面肯定与引导，包括数学意义与现实情境两方面，是师生共同提出来的．但由于是口头提出问题，所以并无书面的打分与等级评价．

2.4 学校与学区对于教师指导学生问题提出任务的评价

对于学校与学区，他们可能很难把控教师对于学生问题提出任务教学的程度，又该如何考核与评价呢？针对这一问题，对教师Mrs. Tina Kaczmarczyk进行采访得知，学区至小学有一个类似微信一样的平台，教师每天需要上传学生的具有代表性的问题提出任务作业，供各位教师分享．这无形当中要求教师必须认真执行指导学生问题提出的工作，各位教师的分享也同时给予了他们某种共同的激励与灵感．

2.5 评述

不难看出该节观摩课教学环节上有些缺陷，例如第一环节中的例题与第二环节中的题目，一个是异分母借位减法问题，一个是同分母借位减法问题，在层次上存在先难度高再难度低的问题，违背了由易到难的认知原则．再比如第一环节题目中的分数不是最简分数等．

但是，如果从问题提出的角度看，这应该是一节完美地在问题解决中融入问题提出的课例．从第一环节开始的实际情境的分数减法问题提出，到第二三环节的迁移法问题解决，到第四环节的符合数学意义的分数减法问题提出，最后到第五环节的各情境下的问题解决，充分渗透了问题提出的思想，而其与问题解决间的联系是如此自然和谐，融为一体，相互认证．

3 田野考察2：以“问题提出”为主题的数学RTI教学

3.1 背景介绍

在West Park Place Elementary School班级的课表中，明确写着8:30—9:30为数学时间，9:30—9:55为数学RTI时间．RTI（response to intervention）[7]是一种干预回应模式，近年来在美国发展迅速，是一种提倡及时评估和干预学习障碍学生的教育模式，其强调在普通学校中由教师或研究者实施多个层级的评估和干预，以帮助学习障碍学生在学习成绩和学习技能上获得提升，并适应所在学校中的学习．Mrs. Tina Kaczmarczyk所在班级的数学RTI时间是专门为学生提出数学问题准备的，事后访谈得知，Mrs. Tina Kaczmarczyk认为这种由学生提出问题的方式可以很好地评估学生，而不仅仅是学习障碍学生的学习困难与认知障碍，并能及时进行干预．

3.2 数学RTI观摩过程

（1）给出数学式子，分析式子与各量的数学意义．

（2）针对数学式子，分析具体情境中的意义．

（3）学生自己找出感兴趣的情境，针对情境与数学式子写出问题．

当教师给出一种可能的情境之后，学生已经蠢蠢欲动，教师就顺势说，请写到你的任务单上吧．

（4）针对学生写出的情境中的问题，教师作出反馈与干预．

教师坐在桌边，等待学生交上任务单．陆陆续续有学生写好了任务单交上，教师会逐一给出反馈，包括问题情境是否新颖、合理，问题是否符合各变量与数学表达式的数学意义，问题表述是否清晰，语法拼写是否正确（因为教师同时也是语言教师）．

3.3 数学RTI教学中教师对学生问题提出任务的评价

在Mrs. Tina Kaczmarczyk专门针对问题提出的数学RTI教学中，学生最终上交的是一份纸质的报告，教师给予了数学意义、问题情境、修辞语法等至少3方面的意见，但只是口头的建议．经过课后与教师Mrs. Tina Kaczmarczyk访谈得知，在学生依据老师的意见修改后，会在教室外面的走廊处展示．

4 田野考察3：美国小学数学作业与练习中的“问题提出”

4.1 背景介绍

关于作业与练习，对Mrs. Tina Kaczmarczyk进行了采访．通过访谈得知，Christina School District整个学区的每位任课教师都有一个内部的账号密码可以登陆他们的系统www.mclasshome.net，可以根据自己的要求选择授课的进度、难度，自动生成符合教师要求的作业或练习．或者说，虽然看似各个教师的作业与练习不尽相同，但都出自同一个题库．

虽然由于保密关系，并没有得以登陆他们的系统，但是经Mrs. Tina Kaczmarczyk允许，得到了一些以往学生的作业与练习．由于这些作业均出自题库，那么从中分析小学数学题库中的问题提出类型，就具有一定的代表性．经过对这些作业与习题中的问题提出任务的分析，主要得到两种模式的问题提出任务．

4.2 模式1

模式1：给出数学式子，要求根据题目提出符合情境与数学式子的问题．

这种模式和此次RTI观摩课中的问题类似，教师给出数学表达式，由学生写出具体情境下符合该数学表达式的问题．可以从作业与练习中找出此种模式的典型样例．

（1）典型样例1．

学生做法举例：

Tim has saved $15 each month for 8 months. He now has enough money to buy a new skateboard and a helmet. After he buys the skateboard and the helmet, he has $25 left.

学生做法分析：问题情境举例很现实生动，论述过程也表明他很好地掌握了数学式子的意义．问题在于最后没有给出问句，也许由于忘记，也许是因为对未知量的掌握还不是很好．

（2）典型样例2．

题目：请按照小数的近似规律，出一道问题．

学生做法举例：

Ms. Grace is making a list of songs for her students to sing in music class. She wants all of the songs to be about 6 minutes in length, so she has listed the playing times of the six most popular songs as decimals.

Choose the FOUR song lengths that round to 6 minutes when rounding to the nearest whole number of minutes.

A. Song 1: 5.49 minutes

B. Song 2: 6.18 minutes

C. Song 3: 5.09 minutes

D. Song 4: 5.92 minutes

E. Song 5: 6.05 minutes

F. Song 6: 6.46 minutes

学生做法分析：问题情境举例非常生动，论述过程也表明他很好地掌握了小数的近似．选择题的出题方式也很新颖，与题目本身很是相配．

4.3 模式2

模式2：给出一组题目，要求找出其中的规律，然后出一道题目．

这种问题提出模式与数学规律是相联系的，首先给出一组数学题目，要求解答；紧接着让学生用文字或符号阐述这一组题目中蕴含的规律；最后要求根据此规律出一道题目．可以从作业与练习中找出此种模式的典型样例．

题目：

（1）解答以下问题：

15´1 000=

18.9´100=

16.338´10 000=

（2）用自己的话阐述一个数乘以10的几次方，小数点的移动规律．

（3）根据这个规律，写出一道问题，要求是一个三位小数乘以10的几次方（次数大于5）．

4.4 数学作业与练习中教师对学生问题提出任务的评价

在学生做过的练习与作业中，从前面的问题样例中可以发现，问题提出只是作为整个作业中的一部分，与问题解决等分别作为同一道作业题目不同的小问．对于问题提出部分，与相关的问题解决题目类似，老师只是给出了“对号”或曲线表示问题的规范与否，并没有打分或等级评分．

5 美国小学数学教学中的“问题提出”对中国的启示

5.1 问题提出——融入课堂不是梦

在数学课堂观摩之前，对数学问题提出的相关文献进行了梳理，发现在数学问题提出的认知过程与模式领域[8-10]，数学问题提出与数学问题解决的关系[11-13]，课程与教材中的数学问题提出[2，14]，等方面的研究都不少．

然而，对于数学问题提出在课堂中的融入这一教学实践问题的研究仅限于几种教学模式[14-17]．那么，以问题解决为核心的课堂中如何能有问题提出的空间？问题提出本身只能作为问题解决的补充，不可能整堂课以问题提出为核心，这二者之间的关系如何处理？如果要融合，在有限的没有增加课时的时间内，又如何保证问题解决的教学目标？

教师Mrs. Tina Kaczmarczyk的观摩课，让中国研究者看到了实践视野中的问题提出融入数学问题解决课堂中的本真面目，原来，这不是梦，是可以相信的现实．有人会说他们有专门的数学RTI教学时间，课堂教学不可能再增加时段，来专门搞问题提出．

那么就抓住仅有的课堂时间，利用有限的时间把问题提出有效地融入课堂之中，而不是流于形式．比如一节新授课的第一环节，通常是教师给出问题情境，引发学生的认知冲突，然后开始进入新内容的问题解决．可以像此次观摩课中的第一环节中那样，教师直接给出一个数学式子，由学生去找符合数学式子意义的问题情境．

5.2 问题提出——与问题解决相伴相形相得益彰

从文献的角度来说，诸多学者研究问题提出与问题解决的关系，虽然在不同研究条件下，其结论不尽相同，但如此之多的研究本身已经说明二者之间的鱼水关系．

从认知的角度来说，如果能够根据一个数学式子，给出一个实际情境中符合该式子数学意义的数学问题，这本身就表明问题提出者已经对该数学式子中的各种量与其关系有充分的认识与理解．反过来想，既然对其理解足够充分，那么当然有极大可能性解决此类问题．但是，如果学生解决问题时似是而非，好像懂了，却对其中的某些关系考虑不周，那是否可以用问题提出作为检验学生数学概念或命题理解的一个手段．难怪诸多学者都在研究问题提出与数学理解间的关系．

从教学的角度来说，例如，椭圆的定义，学生觉得好像不难，但是经常会忽略掉其中重要的一点，即动点到两定点的距离之和一定要大于两定点的距离．教师在教学中经常强调这一点，但效果寥寥，可以试着让学生提出几道关于椭圆方程的问题，以此检验他们对于这一点的认识．从这个角度来说，问题提出可以作为检验学生问题解决的认知深刻性的手段之一，进而暴露学生的认知缺陷，便于教师有针对性地调整教学，从而促进以后的问题解决．

看来，问题提出与问题解决应该相伴而行，问题提出可以作为问题解决的有效补充、检测手段与促进方式．

5.3 问题提出——数学意义与实际情境的双向建构

在文献分析、观摩与考察中发现，提出一个真正的数学问题，需要数学意义与实际情境的双向轨道，二者缺一不可．不能体现数学意义的问题，最多就是个问题，绝称不上是一个数学问题；只有孤零零的数学式子，缺乏有血有肉的现实情境，这样的问题只是一道数学习题，只能为数学浩瀚的题库增加一题，对学生的数学与现实间关系的体验与理解恐怕无多大益处．

而在提出具有现实情境的数学问题的过程中，学生的认知正在经历数学意义与实际情境的双向建构．一方面，问题提出者需要对问题进行数学意义的建构，包括每一个量，量与量之间的内在关系，以及他们之间的相约与制衡．另一方面，需要对实际情境有合理的考量，在经济领域、生活领域还是其他的故事情节中，一个角色的量发生了怎样的变化，如何与其它的量发生数学意义上的相互关系，又如何做到让这种关系合情合理，它们之间的相约与制衡如何去体现．在这种数学意义与实际情境的双向建构中，谁能说这不是一种创造，一种基于学生本身习得知识之后的创造？这种创造，比起笼统意义上的夸大其词的创造，对学生来说，难道不是更为符合心智与认知么？

5.4 问题提出——评价何须要定量

一说到问题提出，很多人就会想到，如何考核与评价呢？不寄望于问题提出评价平台的建立与考核条目的科学定量，更希望于数学课堂之上时时见得问题提出的身影，时时体现问题提出与问题解决相得益彰的互逆思维，时时发现学生提出一个现实问题时的小小窃喜与真诚分享．课堂之外，学生的创造力、思维力的提升又岂是定量评价得到的一个分数所能衡量与媲美的？

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Analysis and Implications of Mathematics Problem Posing in Primary School Teaching in U. S. A——The Case of West Park Place Elementary School

YU Wen-hua1, CAI Jin-fa2, LIU Mei-ling1, ZHANG Ling-yun1

(1. Shandong Normal University, Shandong Jinan 250014, China; 2. University of Delaware, 523 Ewing Hall, Newark, DE 19716, USA)

In order to analysis mathematics problem posing in primary school teaching in U. S. A, we took West Park Place Elementary School as an example. We observed a math and math RTI teaching class, and analyzed the models of the problem posing in their homework and exercises. Based on this, four main implications were put forward: 1) integrate problem posing into the classroom was not a dream; 2) problem posing and problem solving relies on each other; 3) problem posing was a construction of both mathematical sense and actual situation; 4) problem posing didn’t need to be quantitatively evaluated.

problem posing; mathematical curriculum; curriculum reform; primary school mathematics; problem solving

2018–05–01

山东省高等学校人文社会科学研究项目——数学问题提出认知机理的探寻（J14WH07）

于文华（1978—），女，山东乳山人，副教授，博士，硕士生导师，特拉华大学访问学者，主要从事数学教育、数学教育心理等研究．

G40-059.3

A

1004–9894（2018）05–0061–05

于文华，蔡金法，刘美玲，等．美国小学数学教学中的问题提出及启示——以West Park Place Elementary School为例[J]．数学教育学报，2018，27（5）：61-65．

[责任编校：周学智、张楠]