关于多元函数条件极值的几个结论

万为国

【摘 要】多元函数中，n个正数的和为定值或n个正数的线性组合为定值，n个正数的积在什么情况下取得最大值；n个正数倒数的和为定值或n个正数倒数的线性组合为定值，n个正数的积在什么情况下取得最小值；利用多元函数条件极值的求解方法，给出了几个结论。

【关键词】多元函数；条件极值；最大值；最小值

中图分类号： G634.6 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）15-0117-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.15.052

Some Conclusions about Conditional Extremum of Multivariate Function

WAN Wei-guo

（School of information and mathematics，Yangtze University，Jingzhou Hubei 434001，China）

【Abstract】In multivariate functions，the sum of n positive numbers is a constant value or the linear combination of n positive numbers is a constant value，and the product of n positive numbers gets the maximum value in what circumstances.The sum of the reciprocal of n positive numbers is a fixed value or the linear combination of the reciprocal of n positive numbers is a fixed value，and the product of n positive numbers gets the minimum value in what circumstances.Using the method of solving conditional extremum of multivariate function，several conclusions are given.

【Key words】Multivariate function；Conditional extremum；Maximum value；Minimum value

小明是小学四年级学生，晚上在家做家庭作业，一道题不会做。已知3a+2b+5c=90，求a*b*c的最大值。問爸爸妈妈，爸妈看了半天不会做。请教一位在读数学专业已是大四的邻居，大学生看到题目皱了皱眉头，也不知道用小学数学方法如何解题，无奈，用多元函数求极值的方法做了一下，答案是900，可是该如何告诉小明，让小朋友听懂呢？

高等数学中，求多元函数的条件极值，往往用拉格朗日乘数法。

将定理3、定理4也可推广到n元函数的情形。

开头那道数学题，对于小学生来说，不必知道为什么，只需知道怎么做就行。大学生告诉小明，当 3a=2b=5c=即a=10，b=15，c=6时，abc=900为最大值。

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].7版.北京：高等教育出版社，2017：111-121.

[2]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].3版.上海：同济大学出版社，2016：102-110.