掌握一种方法 解决一类问题

摘 要：本人对此进行思考归纳，这类问题往往会出现在菱形、正方形、抛物线、圆的对称图形中，只要我们掌握解题的方法与技巧，善于总结归纳，灵活应变，这类习题会迎刃而解，才能在中考中取得一个理想的分数。

關键词：最短路径问题；掌握方法；解决问题

我所带初中数学已经二十多年了，送走了一届又一届初中毕业生，学生在学习数学的过程中，总遇到最短路径问题，感到束手无策。学生在阅读问题时要么题干太长不知题意，要么干脆放弃不管。因此对于此类问题造成了失分现象。最短路径问题是生活中的实际问题，在修路、铺管道的时候，可以起到节约人力、物力、财力的作用，同时它又与我们的数学知识联系密切。下面，就有关最短路径问题浅谈解题方法与技巧。

一、 最短距离证明过程

下面我就来证明路径最短问题，其最基础的模型又可称为“将军饮马”问题。

已知：如图1，在直线L的同侧有A、B两点，在直线L上找一点O，使得AO+OB为路径最短并证明。

图1

证明：过A做直线L的对称点A1，连接A1B交L于O点，O点即为所求。则AO+OB为路径最短。

因为直线L为AA1的中垂线，根据中垂线或者轴对称的性质可知，L上任意一点到线段AA1两端点距离相等，即有OA=OA1、O1A=O1A1；然后利用两点之间线段最短原则，可得最短路径。注意这里的两点之间线段最短，也可以利用三角形两边之和大于第三边这一性质来解释。

二、 例题应用

图2

例1 如图2，MN是半径为1的⊙的直径，点A在⊙上，∠AMN=30°，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 。

解：过点B作MN的对称点B′，交⊙O于点B′，连接AB′，交MN于点P。根据前面的定理可知，则AB′与MN的交点P即为PA+PB值的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′

∵∠AMN=30°

∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°

∵点B为劣弧AN的中点，

∴∠BON=30°

又∵由对称性知，∠B′ON=∠BON=30°

∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°

∴△AOB′是等腰直角三角形

∴AB′=AO2+OB′2=2

即PA+PB的最小值=2

图3

例2 如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为 。

解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF。

∵四边形ABCD是菱形。

∴AC，BD互相垂直平分。

∴点B关于AC的对称点为D。

∴FD=FB。

∴FE+FB=FE+FD≥DE。

又∴只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短）。

∵在△ABD中，AD=AB、∠DAB=60°

∴△ABD是等边三角形。

又∵E为AB的中点。

∴DE⊥AB。

∴AE=12AD=1

∴DE=AD2-AE2=3

∴EF+BF的最小值为3。

三、 总结方法

对于最短路径问题，首先，要选出恰当的一个点作出关于对称轴的对称点，连接对称点与另外一个点，所连的线段与对称轴的交点，就是我们在对称轴上所求的动点位置，然后连接这两个点与所求动点的线段的和，就是最短距离。最后构造直角三角形，利用勾股定理，计算出这两点与动点之间距离的长度。作图方法可简单的总结为“垂直、延长、相等、连接”法，可找到动点位置。按此方法解决最短路径问题。

四、 结语

总之，最短路径问题出现在不同数学情境中，只要我们认真分析，会发现习题形变而质不实，换汤不换药。利用上述解题思路与技巧，灵活处理问题，这类习题容易被学生掌握，我们的数学成绩定会有所提高。

作者简介：

潘贵劳，甘肃省平凉市，庄浪县第三中学。