物理学和自然界的数学极值原理

史少杰

【摘要】运用数学极值原理求出的力学、电学、光学等物理学规律完全与能量最低原理、欧姆定律以及折射定理等经典物理学原理一致.数学极值原理是自然界和物理学的一个普遍性原理，它体现了自然界的行为遵循简单性和经济性原则，即自然界总是以最小的消耗获得最高的效率和最大的效益.数学极值原理在自然界中又具体体现为“窗口法则”和“下限法则”.

【关键词】数学极值原理；窗口法则；下限法则

一、数学极值原理的发展过程

在数学分析中，经常求函数的极大值和极小值，被统称为极值.实际上，世界这本大书是用数学语言写成的，物理学和自然界等都是按照数学极值原理思想构造而成的.

数学极值原理的原始思想可以追溯到公元前1世纪，亚历山大里亚学者希罗提出了最短路径原理，认为光在空间任意两点间传播过程总是沿长度最短的路径进行.公元前2世纪，托勒密也明确提出了最小化的思想，认为光在反射过程中反射角和入射角相等.公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在他的《光的发射》一书中，提出了光的直线传播及发射定律.公元4世纪，亚里士多德在對运动进行分析时提出了一类特殊的极值问题，即为等周问题.公元6世纪，希腊哲学家奥林匹奥德鲁斯提出了自然现象的“经济本性”，认为自然界不做任何多余的事情.牛津大学校长格罗斯泰斯特则强调，自然界总是沿最捷路径运动与变化，而西方哲学史上著名的“奥卡姆剃刀”原则也同样揭示出理论思维的简单性和明晰性.大数学家费马用“最短时间”代替“最短路径”，他坚信自然界总是以最简洁、最优美的形式进行，按最优化的轨迹进行.因此，费马在对光现象的高度概括性解释似乎暗示着某种更普遍的原理存在的可能.

二、数学极值原理的物理学解释

数学极值原理在物理学的发展演变过程中也发挥着重要的作用，而且应用十分广泛.数学极值原理适用范围包括力学、电学、光学、热学等各个物理学领域.

（一）力学的数学极值原理

物理学各领域中常常存在着可以作为作用量的物理量，实际物理过程就是使体系的作用量取极值（极大值或极小值）的过程.我们只要能够把体系的作用量找到，运用数学极值原理，就可以得出物理过程的变化规律.

（二）光学的数学极值原理

在几何光学中，有光的直线传播、光的反射定律、光的折射定律三大实验定律.然而，可以将这三个定律用一个数学极值原理来表述：光线在两点间的实际路径是所用时间最短的路径.

光的直线传播：两点之间线段最短，所以在均匀介质中光沿直线传播.

光的反射定律：解释如图2所示，

设光源S发出的光线打在镜面h上后反射至P点，可能的路径有很多，要使点S到点P之间用时最短，则必须使光线经点S到点P的传播距离最短.两点之间线段最短，作点S的投影S′，连接S′和P与镜面h相交于O点，则SO和OP距离之和为最短传播距离.又∠1=∠2=∠3，∠2+∠4=∠3+∠5=90°，所以∠4=∠5，即反射角等于入射角，所以在光的反射定律成立时，S点经h反射到P点的光线用时最短.

（三）电学的数学极值原理

数学极值原理在并联电路中的分流特征和串联电路中的分压特征的表现，其内在本质就是使电路中所耗的发热功率最小.并联电路和串联电路如图4所示.

由这个例子看出，体系实际的电流分配方式恰好使体系的热功率达到最小.在用数学极值原理求解时，并未假设已知欧姆定律，却得出了和欧姆定律一样的结果.因此，把热功率看作电路系统里的作用量，并联电路里实际的电流分配方式和串联电路中实际的电压分配方式总是以输出热功率最小为原则的，由此可以得到其他的实验定律.

三、数学极值原理的窗口法则和下限法则

数学极值原理是自然界和物理学的一个普遍性原理，它体现了自然界的行为遵循简单性和经济性原则，即自然界总是以最小的消耗获得最高的效率和最大的效益.数学极值原理又具体体现为“窗口法则”和“下限法则”.

世界这本书是用数学语言写成的，任何物理现象和工程问题最后都会转化为数学问题，正如一位数学家所言：一切工程问题都可化为力学问题，一切力学问题都可化为数学问题，一切数学问题都可化为代数问题，一切代数问题都可化为方程求解.数学问题最终必然涉及某个基本“参数”，而“参数”必定在某个范围内，即“窗口法则”，此窗口由上限和下限所确定，根据数学极值原理，在窗口的下限附近必定得到最优的结果，此为下限法则，即为极值原理.

四、结束语

数学极值原理是自然界和物理学的一个普遍性原理，它体现了自然界的行为遵循简单性和经济性原则，即自然界总是以最小的消耗获得最高的效率和最大的效益.数学极值原理在自然界中又具体体现为“窗口法则”和“下限法则”.道法自然，科学规律和自然界各种现象总是遵从数学极值原理，即以下限法则达到最优.