Beta函数及其偏导数在积分运算中的应用

刘国兴

摘 要：Beta函数和Gamma函数是特殊函数中两类非常重要的函数，在许多领域都具有重要的作用。Beta函数和Gamma函数有着密切的联系。文章讨论了Beta函数和Gamma函数的一般性质，讨论了Beta函数偏导数的有关性质。由于Beta函数和Gamma函数有多种形式的积分表示，Beta函数及其偏导数在定积分、广义积分的计算上具有重要的应用，文章对于Beta函数及其偏导数在积分运算中的应用进行了研究。

关键词：Beta函数 Psi函数 Gamma函数

中图分类号：O174.6 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）05（a）-0183-02

Abstract：Beta functions and gamma functions are two very important functions in special functions， which play an important role in many fields. Beta functions are closely related to gamma functions. The article discusses the general properties of Beta functions and Gamma functions， and discusses Beta. The related properties of partial derivatives of functions. Because Beta functions and Gamma functions have multiple forms of integral representation， Beta functions and their partial derivatives have important applications in the calculation of definite integrals and generalized integrals. The article is about Beta functions and their partial derivatives. The application in the integral operation has been studied.

Key Words：Beta function； Psi function； Gamma function

Beta函數和Gamma函数是特殊函数中十分重要的两种函数，在许多领域具有重要的作用。由于Beta函数和Gamma函数有多种形式的积分表示，Beta函数与Gamma函数有着密切联系，Beta函数和Gamma函数在定积分、广义积分的计算上具有重要的应用。

1 Beta函数及其偏导数

其中是双伽玛函数，也称为Psi函数。

2 Gamma函数及不完全Gamma函数的相关定义

3 Beta函数和Gamma函数的性质

4 Beta函数及其偏导数在积分运算中的应用

在求解某些正常积分或非正常积分时，常用分部积分或换元积分的方法。但对某些积分，利用这两种方法反而会使计算过程更加复杂，而利用Beta函数和Gamma函数的特殊性质，将积分运算转化为相应的Beta函数或Gamma函数表示，则可以简化问题的求解。

4.1 直接将积分转换为Gamma函数或Beta函数

4.2 通过代换将一重积分转化为Gamma函数或Beta函数

4.3 利用Gamma函数和Beta函数对部分广义积分计算

参考文献

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