换元法在常微分方程中的应用

摘 要：换元法又叫变量代换法。这是一种被广泛应用于解决常微分方程中问题的常用方式。主要是利用新的变量代替原来方程中的变量，由难化简，把无法解决的问题转化为能解决问题，快速求出方程解的一种解题思想。换元法的运用对数学研究领域有着至关重要的意义，使得求出的解更加简便快速，是解决高等数学理论和方法的重要工具之一。因此，我们对通过讨论齐次方程和一阶常微分方程的换元思想进行求解，重点总结和概括换元法在常微分方程中的应用。

关键词：换元思想；常微分方程；应用求解

中图分类号O175 文献标识码：A 文章编号：1004-7344（2018）11-0040-02

在我们的生活中，无论是哪个研究领域，都有许许多多的问题需要被解决。我们一般在解决问题时，会对问题先进行假设，在此基础上在进行合理分析，将其转化，利用数学方法进行解决。当然，在数学领域也是同样的道理。换元法就是采用数学方法解决数学问题的有效方法之一，其实质是转化变量，关键是构造新的元素和假设元素，依据等量代换值不变的原理，通过变量代入，将原方程由繁变简，化难为易，实现从未知向已知的转化，从而达到解决问题的目的。

换元思想无论是在初等数学阶段和是高等数学领域都是十分重要的，常在代数中被用于求导、求最大值和最小值等。在微分方程中也常常被用于求齐次方程、一阶齐次微分方程和一次隐性微分方程的解。因此，为了探讨出换元法在常微分方程中的应用，本文将通过换元法在齐次方程、一阶齐次微分方程和隐性微分方程中的应用，重点总结常微分方程中的换元思想，从而进一步为我国数学研究学者提供有力的借鉴依据。

1 换元法的相关定义

1.1 换元法的基本概念和注意事项

用新的变量（未知量）代替方程中的旧变量（未知量），运用已知的数学方法求出新的变量（未知量），引入到原方程中，在借用替代关系求出原方程中的变量（未知量）的方式，叫做辅助元素法，又称之为换元法或者变量代换法。其中在方程里新的那个未知量被称为辅助元素，简称辅助元或构造元。

利用换元法首先要对构建的新元特别注意，在换元前，要尤其注意新元的适用范围和限制条件，引入适当的代换，可找到较为简便的解题方法，从而更加快速的求出方程的解。在换元后，必须要对新元进行检验，确保换元正确，不会影响计算结果。

1.2 换元的基本思想

（1）我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新元范围的选取，新元的取值范围要与原方程中自变量的取值范围相同，不能过大也不能过小。如上几例中的t>0和α∈[0，]。

（2）可以先采用观察的方法，从原方程中找出与换元法相似的未知量，用自己喜歡的字母进行标注，将微分方程进行计算，如果计算的结果中也同样含有这个字母，就将它代入方程中，也可求出方程的解。

计算流程：

构造元→求解→代入方程→检验。

转换变量等量代换等量关系。

2 常微分方程的相关定义

2.1 常微分的概念

在微分方程中，未知函数只与一个自变量有关的方程式被称为常微分方程。

2.2 常微分的阶

微分方程中，出现的未知量的最高阶导数的阶数，一般被称为是阶。主要有以下几种形式：

dy/dx=2x…一阶。

x2y+xy-4y'=3x…二阶。

由于常微分方程的未知量只有一个，所以一般它的阶只有一个，主要形式为：dy/dx=2x。

2.3 一阶常微分方程的形式

y'=f（x，y）或f（x，y，y'）=0

2.4 常微分方程计算的注意事项

（1）微分方程的通解不一定包含它的所有解，有些特殊解不包含在通解中。

（2）利用初等方法（初等积分法）求解微分方程，通常要进行乘除因式的变形，因此可能产生增解与失解，严格的说必须充分考虑，但是在高等数学（非数学专业）中主要为了强调方程归类解法，通常不苛求同学如此严密解题，目的是突出方法，简化过程。

3 换元法在齐次方程中的应用

当一阶微分方程转化为dy/dx=？准（y/x）的形式时，被称为是常微分方程的齐次方程。

设u=y/x，则y=xu

dy/dx=u+x（dy/dx）

将其代入齐次方程中，可得：

u=x（du/dx）=？准（u）

x（du/dx）=？准（u）-u

借助分离变量，换元，可得du/？准（u）-u=dx/x。

两边同时积分，可得出一个关于u和x的函数关系式，将u替换成y/x的形式，则可求出方程的解。

例子1：求方程dy/dx=y/x+tan（y/x）

设将u=y/x，dy/dx=x（du/dx）+u代入原方程中，

得x（du/dx）=u+tanU

化简后得：du/dx=tanu/x（1）

将上式分离变量后可得：cotudu=dx/x（2）

将（2）两边同时积分得：2n|sinu|=in|x|+e（e可以是任意常数）

整理后得：sinu=±e×x

令±e=c，则sinu=cx

会出现以下两种情况当tanu=0时，sinu=0（3）；当c=0时，sinu=0（4）。

（4）满足（3）的条件，所以原方程的通解为sin（y/x）=cx。

4 换元法在一阶线性方程中的应用

在微分方程中出现的未知函数及未知函数的导数的指数为一次的方程被称为一阶线性方程。

如：dy/dx+xy2=sinx是一次阶线性方程。

一次阶的线性方程的形式为dy/dx=P（x）y+QX

在解决一次阶线性方程时，要进行分类讨论：

当Q（X）等于0时，dy/dx+p（x）y=0，是它的齐次线性微分方程。

当Q（X）不等于0时，dy/dx+p（xy），不是齐次线性微分方程。

现要求一次阶线性方程，先根据dy/dx+p（x）y=0的解，求dy/dx+p（xy）的值。

换元得：dy/y=-p（x）→in|y|=-fp（x）dx+c→|y|=e-fp（x）dx+c→y=ce-fp.（x）dx（c=±ec），采用常数变换法，进行下一步的操作：

设y=ue-|p（x）dx，u=u（x）

则dy/dx=du/dx（e）-|p（x）dx-up（x）e|

代入上式中得，du/dx=Q（x）e{p（x）dx+c}

y=e-|-p（x）dx{|Q（x）e|dx+c}

例子2：求解方程dy/dx=y+sinx。

解：因为原式是一个齐次线性方程，且通解为y=cex。

可得，该方程的通解为dy/dx=cex。

常系数非齐次线性微分方程的通解=常系數齐次线性微分方程的通解+常系数非齐次线性微分方程的的一个特解。

例如：y'+y=1（1）

（1）的齐次方程：y'+y=0（2）的通解。

y（t）=Be^（st）s=-1

y（t）=Be^（-t）

（1）的一个特解：y*=1。

因此（1）的通解：y（t）=Be^（-t）+1。

5 两种换元法的比较

（1）第一类换元法，就是反用复合函数的微分法。

如果g，h相对简单，就很容易求。

第一类换元法，一般不会改变被积函数的形式，比如原来是根式，还是根式；原来是分式，还是分式；原来是多项式，还是多项式；原来是三角函数，还是三角函数；原来是对数函数还是对数函数；原来是指数函数还是指数函数等等。

第一类换元法的基本特征，是在被积函数与自变量之间，插入一个中间变量：

f（x）=g（z），z=h（x）

比如ln（5x+2）-->ln（z），z=5x+2

（2）第二类换元法，是要改变被积函数的形式的，通常用来积分根式、三角函数。比如，变换之后，没有根号了；三角函数的万能变换，将三角函数变成代数分式了。反三角函数变成三角函数了。

第二类换元法的基本形式是：

f（x），x=g（t），f（x）=f（g（t））

是在被积函数，自变量x，后面增加一级自变量t，取代了原来的自变量。

比如，lnx，x=e^t，lnx=lne^t=t。

6 结束语

通过上述换元法在常微分方程中应用的分析，我们可以看出，换元法在数学领域中是发挥着极其重要的作用的。与其他学科相结合，在其他高等数学方法的基础上，寻找合适的新元，使常微分方程的求解更加简便快速。

随着数学研究者的不懈努力和科学领域的不断进步，常微分方程这一重要的学科也在数学领域中发挥着越来越重视的作用，被人们逐渐重视。为了进一步完善换元法在常微分方程中的应用方法，我们也对数学研究学者提出了更高的要求。希望能在本文探讨的结果下进一步加大对常微分方程的应用的讨论，总结出更多的应用方法，更好地为解决数学领域及其他领域问题提供依据。由于数学知识比较广泛，所以本文只是针对换元法在常微分方程中的部分应用进行了简单的分析，希望能帮助研究学者进行分析。

参考文献

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[2]张 东.变量代换法在求解微分方程中的应用[J].辽宁交通高等专科学校学报，2015，23（05）：341～342.

[3]诗敏伟，吴斌华.变量代换在求解微分方程中的应用[J].徐州教育学院学报，2015，26（04）：123～125.

收稿日期：2018-3-5

作者简介：王天璐，数学与应用数学专业。