线性代数中的矩阵应用案例分析

郑婷

摘 要：伴随着信息技术水平的提高，网络技术的进步，矩阵的应用也更加深入。同时，文章作者认为有必要更加重视数学线性代数的研究和学习，因其不仅能够简化研究，使研究更加合理，而且还有助于拓展思维，增强科学智能，促进数学核心素养的发展。文章重点分析了线性代数中的矩阵应用案例。

关键词：线性代数；矩阵；应用案例

一、线性代数的基本认识

线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量、向量空间（或称线性空间）、线性变换和有限维的线性方程组。在高中数学学习中，求解线性方程是重要的知识点，向量则是线性代数中一个最基本的概念。当前，线性代数在数学、物理学和技术学科中都发挥着重要的作用，可见线性代数对于强化知识技能，增益科学智能方面是非常有利的。矩阵是在线性代数中比较具有研究价值且被研究次数最多的一种，矩阵能表现出一种规律，一种利用代数理论知识来表现的数表變化规律，并且经常利用数表来分析得到结论[1]。

二、线性代数中的矩阵应用案例

1.线性方程组与向量

首先，向量是解决线性方程组的一个有力武器。向量是一个在解析几何和物理中都有的概念，但是在解析几何和物理中，向量的概念是不一样的，但利用向量处理线性方程组是非常有用的[2]。线性代数中的向量有两个要素，一个是大小，另一个是方向。所以两个向量只要大小和方向一致，那么这两个向量就是相等的，向量中只有重合没有平行，不存在相反方向但是相等的向量。因此，向量最基本的运算就是加法和减法两种。比如，α-β=α+β这个向量的加法，就是将它们的各个分量分别相加。另外，由于向量的加法符合平行四边形的运算法则。所以运算的时候，可以把向量α 和向量β假设为一个平行四边形的两条边，这样向量α+β的计算就是那个平行四边形的对角线，平行四边形的对角线向量就是α+β所对应的向量。虽然平行四边形很好进行计算，但是更多的时候我们更习惯于利用三角形来进行计算，利用三角形的计算会更加简单直观，而且更加适合于多个向量的计算。利用三角形计算的时候，只需要将各个向量之间首尾连接，第一个向量的开始和最后一个向量的结尾进行连接就是结果。

2.矩阵在解线性方程组中的应用

可以利用矩阵的特点来进行高中线性方程组的求解计算，而且还可以将这个特点进一步应用到方程组中。假设线性方程组生成矩阵形式Ax=b，并根据系数矩阵和增广矩阵来判断方程组是否有解。我们需要借助矩阵对方程组进行相应的简化，这样能够降低整个方程组求解的难度。比如，Ax=b的矩阵方程求解时，就需要先判断系数矩阵和常数矩阵是否有相同的秩，如果相同则可以进一步求解，这个时候也分为两种情况：当系数矩阵的秩为n，线性方程组会有唯一的解；但是当秩小于n时，那么这个方程组就会有无穷多的解。如果不相同，那么这组方程组就没有方程解，无法进行解答。

例如，下面这组线性方程组的求解中，方程组的形式为：

X1 -X2 - 3X3 + X4 = 1

X1 - X2 + 2X3 - X4 = 3

4X1 - 4X2 + 3X3 - 2X4 = 6

2X1 - 2X2 - 11X3 + 4X4 = 0

因此，我们可以通过对方程组进行分析，利用矩阵做一个简单的等量变换处理，进而得到方程组相应的解。但是需要注意的是，有一个特殊情况是如果系数矩阵和增广矩阵两者的秩是不相等的，那么这个方程组无解。所以要先弄清楚矩阵行列式，然后将矩阵和线性方程组直接对应起来，再进行推算工作，而且要在推算的时候保证这个推算是正确的，这样才能得出一个正确的对应关系，才能将复杂的线性方程简化为一个矩阵向量，然后降低整个方程组的解决难度，顺利解决方程组的问题。

综上所述，近年来，随着信息科技的不断发展，社会经济发展速度越来越快，线性代数也开始在各个学科中被广泛应用，其中矩阵的应用领域也逐渐变得广泛。线性代数一直以来都是数学学科学习中的重点和难点，而高中阶段的数学学习、线性代数的学习还很简单。本文主要是对矩阵在线性代数中的应用案例进行探讨，以供参考。

参考文献：

[1]江 蓉，王守中.分块矩阵在线性代数中的应用及其教学方法探讨[J].西南师范大学学报（自然科学版），2017（6）：167-171.

[2]程 茜.线性代数中的矩阵表示[J].高等数学研究，2013（4）：117-119.