一种相位编码信号和失配滤波器联合优化方法

徐磊磊，周生华，刘宏伟，马 林

(1. 西安电子科技大学 雷达信号处理国家重点实验室，陕西 西安 710071；2. 西安电子科技大学 信息感知技术协同创新中心，陕西 西安 710071)

雷达发射波形通常可以影响到雷达系统的定位精度[1]、分辨率[2]和抗干扰性能[3]等，因此波形设计一直是雷达信号处理研究的热点之一．脉冲压缩方法是雷达领域的一项重要技术，但信号脉压后通常会产生距离旁瓣电平，高的距离旁瓣电平一方面可能会触发虚警，产生虚假目标;另一方面，在对弱小目标进行检测时，可能会造成漏警，特别是在多目标或强杂波的背景下，因为强目标回波信号脉冲压缩后的高旁瓣电平可能会覆盖弱小目标回波脉冲压缩后的峰值．因此，对于脉冲压缩雷达，降低发射波形脉冲压缩后的距离旁瓣电平是非常有意义的研究方向．

雷达发射电路中的放大器通常工作在饱和状态，因此要求发射信号是恒模信号．相位编码信号是一种常见的恒模信号，具有测量精度高和抗干扰性好等优点[4]，在多输入多输出雷达领域受到广泛关注[5-7]，具有广阔的应用的前景．由于恒模的约束，相位编码信号设计是非凸的优化问题，不同的优化算法可能获得不同的局部最优解．为了获得低距离旁瓣电平的相位编码信号，首先，可以根据应用背景和代价函数的特点，选择好的优化算法来降低脉冲压缩后的距离旁瓣电平[5-7]; 其次，可以在编码信号已知的条件下，设计失配滤波器来抑制失配滤波器输出的距离旁瓣电平[8-9]; 另外，也可以通过增加相位编码信号的码元个数来降低距离旁瓣电平．但是，在给定发射信号持续时间的条件下，对于传统的相位编码信号，增加码元个数会带来更高精度的距离分辨率(由于带宽的增加)．在实际应用中，所需要的距离分辨率随着应用场景不同而不同，在保持所需要的距离分辨率的条件下，使用更多的自由度去降低距离旁瓣电平是一种更加有效、合理的方法．因此，文献[10]在给定发射信号持续时间和需要的距离分辨率的条件下，使用两种方法来降低距离旁瓣电平: 一是增加相位编码信号的码元个数，同时展宽主瓣宽度来保持所需要的距离分辨率; 二是基于方法1优化获得的相位编码信号，设计失配滤波器来进一步压缩距离旁瓣电平．需要注意的是:文中称文献[10]中的宽主瓣相位编码信号为恒定主瓣相位编码信号;文中所提的恒定主瓣相位编码信号的带宽并不约等于子码元时宽的倒数，但是此类信号并不违背距离分辨率和带宽的关系;文献[10]获得的恒定主瓣宽度的编码信号和失配滤波器是分开优化的，损失了部分优化自由度．

为了进一步降低距离旁瓣电平，关键是寻找更多的自由度．因此，笔者提出了一种恒定主瓣宽度的相位编码信号和失配滤波器联合优化方法．首先，在给定发射信号持续时间和需要的距离分辨率的条件下，以控制失配滤波器输出的主瓣形状，约束信噪比损失和最小化峰值旁瓣电平(Peak Sidelobe Level， PSL)为目标，构建联合优化准则;然后，将带约束且非光滑的联合优化模型进行转化; 最终利用最小p范数算法[11]进行求解，并将L-BFGS(Limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb and Shannon)算法[12]作为其子算法．

1 信号模型

假设雷达发射信号s∈CNs×1，是一个码元长度为Ns的相位编码信号，回波信号经长度为Nh的失配滤波器h∈CNh×1(Nh≥Ns)滤波，输出的结果在距离位移k处的表达式[6]为

(1)

其中，(·)*表示取共轭，ω(k)(k≠0)表示失配滤波器输出的旁瓣，ω(0)表示失配滤波器输出的主瓣．相位编码信号s和失配滤波器h的第n个元素分别为

其中，φ为相位编码信号s的相位向量，即s=exp(jφ)，j=(-1)1/2，a和θ分别为失配滤波器h的幅度向量和相位向量，即h=a⊙exp(jθ)，⊙为Hadamard积．

给定雷达发射信号持续时间的条件下，假设雷达发射端能够发射Ns个码元．接下来需要做的是:利用这Ns个码元去匹配给定的距离分辨率．首先，对于传统相位编码信号，距离分辨率可表示为 ΔR=cT/ (2Ns)，c表示光速，T表示发射信号持续时间．假设实际所需要的距离分辨率 ΔRd=cT/ (2N1)，N1(Ns≥N1)为雷达发射码元的个数．此时，距离分辨率增加的倍数可表示为

g=(ΔRd-ΔR)/ΔR=(Ns-N1)/N1．

(4)

为了使联合优化方法得到的距离分辨率与所需要的距离分辨率相同，将相位编码信号经失配滤波器输出的主瓣进行展宽，即通过调节失配滤波器输出的主瓣宽度来控制带宽，间接地实现调节距离分辨率的目的．假设将ω(k)，k=0，±1，±2，…，±M作为主瓣区域，M为主瓣宽度控制参数，可表示为

M=ceil(g) ,

(5)

其中，ceil(·)表示朝正无穷大取整．为了有效控制主瓣形状，假设p∈C2M+1，为期望的主瓣(在实际应用中，可以根据不同的应用需求，选择不同函数的主瓣作为期望的主瓣)．基于上述主瓣展宽原理的描述，失配滤波器输出的主瓣区域和旁瓣区域分别可以表示为

ωmain=[ω(-M)，ω(-M+1)，…，ω(M)]T,

(6)

其中，(·)T表示转置．为了联合优化恒定主瓣宽度的相位编码信号和失配滤波器，3个主要方面需要考虑:

(8)

(2) 信噪比损失约束．在实际应用中，如果信噪比损失过大，会影响到雷达的探测性能，定位精度等．为了避免信噪比损失过大，提出一个简单但有效的方法来约束信噪比损失．首先，信噪比损失的表达式[13]为

SSNRloss=10 lg[NshHh/(ωH(0)ω(0))] ,

(9)

其中，(·)H表示共轭转置．首先，令ω(0)=Ns，隐含的物理意义是相位编码信号经失配滤波器输出的峰值等于其经过匹配滤波器输出的峰值，因此，式(9)信噪比损失的表达式可简化为

SSNRloss=10 lg (hHh/Ns) ．

(10)

由式(10)可知，信噪比损失随着hHh减小而减少．由于假设ω(0)=Ns是一个非凸的约束，在优化过程中很难操作．因此，提出通过同时最小化|ω(0)-Ns|和|hHh-Ns|的方法来控制信噪比损失，并且在仿真实验中验证了该方法的有效性，|·|表示取模值．因此，通过以下两个约束控制信噪比损失:

(11)

其中，α1和α2是预先设定的正实数来间接的控制信噪比损失．

(3) 主瓣形状控制．假设向量e为设计的主瓣与期望主瓣匹配误差向量，第m个元素可表示为

e(m)=ω(m-M-1)-p(m) ,

(12)

(13)

结合式(8)，式(11)和式(13)，笔者提出的联合优化准则可以表示为

(14)

其中，λ1为预先设定的权系数，用来权衡主瓣逼近程度和旁瓣压缩性能，由于向量e包含ω(0)-Ns，所以将式(11)第2个约束省略了．另外，文中后续仿真实验中使用归一化的PSL作为联合优化输出旁瓣电平的衡量指标，其定义为

(15)

2 模型转化及求解

(16)

(17)

其中，向量x是由向量φ，a和θ按顺序构成的列向量，即φ=[x(1)，x(2)，…，x(Ns)]T，a= [x(Ns+1)，x(Ns+2)，…，x(Ns+Nh)] 和θ= [x(Ns+Nh+1)，x(Ns+Nh+2)，…，x(Ns+ 2Nh)]T．文中使用最小p范数优化算法来优化式(16)，具体流程[11]如下所示:

(1) 选取起始值x0和ε，并设i=1，p=2，μ=2，f0=1 000;

(2) 将xi-1作为第i次迭代的初始值，采用L-BFGS算法[12]来最小化f(x)，获得向量xi，令fi=f(xi);

(3) 若|fi-1-fi|≤ε，则获得向量xi并终止; 若 |fi-1-fi|>ε，则令p=μp，i=i+1，然后转到步骤(2)．

L-BFGS算法首先利用线搜索的方法来确定步长，然后利用相邻m次迭代函数的一阶梯度信息来估计海森矩阵，而且不用求海森矩阵的逆矩阵，相对于牛顿法，计算量小、求解速度快，所以文中选用L-BFGS算法来最小化f(x)．限于篇幅原因，L-BFGS算法具体步骤见文献[12]．

最小p范数优化算法的计算量主要来源于步骤(2)，使用L-BFGS算法求解步骤(2)时，主要计算量是每次迭代中计算目标函数f(x)和目标函数的一阶偏导f(x)，其中，为求偏导符号．为了便于表示，只考虑复数乘法的复杂度．计算目标函数f(x)和一阶偏导函数f(x)分别需要O((Ns+Nh)(p+ lb(Ns+Nh))+pNh) 和O(p(Ns+Nh))次复数乘法操作．

3 仿真实验

假设相位编码信号码元长度Ns=256，失配滤波器长度Nh=512，发射信号持续时间T= 64 μs，采样频率为 12 MHz，若无特殊说明，式(16)中的参数λ1= 0.35，λ2= 0.1．为了匹配期望的主瓣形状(即保持恒定的主瓣形状)，首先根据式(18)设计码元长度N1= 64的常规相位编码信号s1，然后将相位编码信号s1脉冲压缩后主瓣作为期望的主瓣p．

(18)

图1 不同初始值优化结果

其中，φ1为相位编码信号s1的相位向量，即s1=exp(jφ1)，Jr为转移矩阵[6-7]．式(18)的求解方法与式(16)类似，这里不再具体给出．在给定雷达发射信号持续时间的条件下，根据式(5)，可得M=3．L-BFGS算法的更新数目m=5，最小p范数优化算法终止条件有两个:最大迭代次数为 5 000;相邻两次迭代目标函数差值ε≤ 10-10．

在参数λ1=0.35，λ2=0.1条件下，图1给出了随机选取100次初始值的优化结果，从图中可以看出，不同初始值对优化结果影响较大，这主要是因为联合优化函数是非凸的优化问题，不同初始值可能导致收敛到不同的局部最小值．因此，文中在不同参数仿真实验中，若无特殊说明，均随机选取了100次初始值，选取最低的PSL作为最终的结果．

表1为式(16)在码元长度Ns=256，失配滤波器长度Nh=512条件下，不同λ1和λ2条件下的优化结果．由表1可知，通过调节参数λ1和λ2，可以实现同时最小化|ω(0)-Ns|和|hHh-Ns|，进而可以有效地控制信噪比损失，验证了笔者提出的控制信噪比损失方法的有效性．

表1 不同参数条件下优化结果

图2为笔者所提方法输出的主瓣 (3 dB 宽度)区域幅值，文献[10]中分开设计相位编码信号和失配滤波器输出的主瓣区域幅值和期望主瓣区域幅值的对比图，其中，文献[10]中方法1是设计恒定主瓣宽度的相位编码信号，方法2是给定方法1获得的信号，设计相应的失配滤波器;另外，图2给出了码元长度Ns= 256的随机相位编码信号的主瓣，其相位是在[0，2π]均匀分布的随机相位．由图2可知，与文献[10]中两方法设计的主瓣效果类似，所提方法的主瓣和期望的主瓣基本重合;而且，在发射信号时宽和码元长度相同的条件下，所提方法设计的主瓣宽度比随机相位编码信号的主瓣宽．

图2 主瓣区域幅值曲线图3 主瓣区域相位曲线

图3为笔者所提方法输出的主瓣区域相位和文献[10]中两方法输出的主瓣区域相位的对比图．由图3可知，所提方法设计的主瓣区域的相位波动范围比文献[10]中的方法1小，但比文献[10]中的方法2大．在多脉冲进行相干积累时，相位波动越小，越有利于相干积累．虽然所提方法设计的主瓣区域相位波动范围比文献[10]中的方法2大，但由于其波动范围非常小(最大相位波动为0.009°)，对多脉冲相干积累造成的性能损失是非常小的．

表2 不同方法优化结果

图4 功率谱对比图

表2为笔者所提方法输出的旁瓣电平，文献[10]中两方法输出的旁瓣电平和式(18)设计的常规相位编码信号s1脉冲压缩结果的对比图．由图2和表2可知，在主瓣宽度基本相同的条件下，所提方法输出的PSL比文献[10]中方法1输出的PSL降低了 10.72 dB; 另外，在信噪比损失 (0.09 dB) 相同的条件下，比文献[10]中方法2输出的PSL降低了 4.77 dB．图4为所提方法输出的功率谱和相位编码信号s1的功率谱对比图．给定T的条件下，增加码元个数虽然会导致每个子码元宽度变窄(此时常规的相位编码信号带宽会增大)，但是通过笔者所提的设计方法，输出端的带宽可以保持不变(即距离分辨率保持不变)，图4验证了所提方法的有效性．另外，结合图2和图4可知，控制失配滤波器输出的主瓣宽度可以有效地控制输出端的带宽．

表3为所提方法设计的相位编码信号s和失配滤波器h在不同滤波器系数长度和信噪比损失条件下输出的结果．从表3可以看出，在主瓣宽度基本相同的条件下，失配滤波器系数长度越长或信噪比损失越大，失配滤波器输出的峰值旁瓣电平就越低．在实际应用中，如果失配滤波器系数长度过长，则会增加雷达系统实现的复杂度;如果信噪比损失过大，则会严重影响到雷达探测威力、参数估计精度等．因此，根据不同的应用需求和实际雷达系统的限制，需要综合考虑这两方面的影响．

表3 不同滤波器系数长度和信噪比损失条件下的优化结果

图5为所提方法输出的时延-多普勒响应图．由图5可以看出，在零多普勒通道有比较深的“沟壑”; 一旦多普勒失配，旁瓣电平会迅速升高．图6为所提方法输出的PSL随多普勒频率(多普勒失配)的变化曲线．从图6可以看出，当多普勒失配频率 |Δfd|Ns≤1 时，随着|Δfd|的增加，PSL逐渐升高; 当多普勒失配频率 |Δfd|Ns>1 时，随着|Δfd|的增加，PSL在一定范围内呈现不规则振荡．结合图5和图6可知，所提方法设计的相位编码信号s和失配滤波器h对多普勒频率是非常敏感的，这是因为笔者所提的联合优化准则中没有考虑多普勒失配的影响．为了降低多普勒失配造成的旁瓣电平升高的影响，一方面可以在接收端采用不同多普勒调制的滤波器组对回波信号进行补偿[7]; 另一方面，可以设计具有期望形状的模糊函数[14]．

图5 时延-多普勒响应图图6 PSL随多普勒频率变化曲线

4 结 束 语

笔者提出了一种恒定主瓣宽度的相位编码信号和失配滤波器联合优化的方法，用于进一步降低距离旁瓣电平，进而提高雷达的探测性能和参数估计精度等．在给定发射信号持续时间和实际需要的距离分辨率的条件下，以控制失配滤波器输出的主瓣形状，约束信噪比损失和最小化PSL为目标，构建联合优化准则; 然后，基于罚函数法和p范数理论，将带约束并且非光滑的优化问题进行转化; 最后，使用最小p范数算法进行求解，并将L-BFGS算法作为其子算法．仿真结果验证了所提方法的有效性．实际环境中，可能会存在杂波、干扰等不利因素，这些因素均会影响到失配滤波器输出的旁瓣性能，该方面需要进一步研究．