解由性生 感觉就来——以2018年深圳市中考第16题为例

☉江苏省无锡市硕放中学 邹黎明

☉江苏省无锡市新吴区教师发展中心 浦叙德

一、试题呈现

案例1： 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF=4，EF=，则AC=_______.（2018年深圳市中考数学第16题）

图1

图2

这种富有挑战性的试题，关键是辅助线的“构造”技巧，这些“构造”妙解，感觉何来？试题的切入点在哪里？笔者通过研究这道试题，感觉辅助线是由题目条件、图形特征所能体现的性质而产生的，正所谓解由性生，感觉就来.

二、解由性生

解析1：从条件我们可以想到：①三角形两条角平分线的交点是三角形的内心，F到三边距离相等，可以构造出正方形；②可以先求出∠AFB=135°；③角平分线上的点到角的两边距离相等；④角平分线定义.

考虑①.如图2，作FM⊥AC于M，FN⊥BC于N，连接CF，可以得到正方形FMCN，设FM=MC=r，我们考虑Rt△AFM、Rt△EFM，进而利用勾股定理得到方程，我们可以设AC=x，得到：AF2=AM2+FM2，AM=x-r，则（x-r）2+r2=16.

点评：此题主要考查了角平分线定义、勾股定理、相似三角形的判定和性质，关键是得到∠AFE=45°，进一步判断得出△AEF △AFC.在解析1中，由相似形得到的比例可以巧妙得到x=4r，这样可以得到AM=4r-r=3r，采用方程思想解决问题；解析2对于45°还处理出等腰直角三角形，这样可以求出AE，这个方法更加巧妙.

变式：前提条件如案例1，求CD、BC、AB.

解析：（1）求CD.

图3

图4

点评：为什么想到用面积比呢？因为BC、AB都有一部分CD、AH是知道的，那么只要求出DB、HB就可以了.我们思维上习惯于用勾股定理或者比例求出结果，从在直角三角形ABC中，得到，显然方法上这个思路比较明确，但是解方程太烦琐了，计算量太大了.我们可以考虑能不能求，关键是想到利用比例的性质：同高的两个三角形面积比等于它们底的比，于是，想到利用面积比来解决问题.

三、变出感觉

案例2：如图5，在△ABC中，∠C=60°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF=6，EF=2，则AC=______.

图5

图6

解析：我们可以得到∠AFB=120°，∠AFE=60°，从而想到构造“含30°角的直角三角形或等边三角形”.

这个题目让我们提炼出如下试题：

案例3： 如图7，△ABC中，∠C=60°，AD平分∠BAC，D在BC上，AC=12，CD=5，求AB、BC.

解析：在AC上截取CK=CD=5，连接DK.因为∠ACB=60°，得到△CDK是等边三角形，得到CK=DK=CD=5，∠CKD=∠C=60°，AK=12-5=7.

图7

在AB上截取AH=AK=7，连接DH.因为AD平分∠BAC，得到∠KAD=∠DAH.则△AKD △AHD，得到DK=DH=5，AK=AH=7，∠AKD=∠AHD=120°，∠BHD=

点评：关键是构造相似，如上作图方法得到DH，事实上我们还是有疑问，H一定在AB上吗？如果H在AB的延长线上，得到∠ABC＞∠AHD=120°，矛盾，这说明H在线段AB上；如果直接作出∠BHD=∠C=60°，相关证明就麻烦了.这里还是要想到60°这个特殊角度，可以构造等边三角形，这样构造△AHD △AKD，有点类似图4中得到△ADH △ACD.

四、感觉就来

解法很精彩，跟着感觉走，解题的感觉如何产生，作为教师如何让学生找到感觉，开启思考的路径，变得尤为重要.

凡是出现添置辅助线的试题，已经属于能够难倒部分学生的试题，更何况这些要构造出具有技术含量的辅助线的试题.我们做题目，关键是要反思，在不同的作辅助线的背景中，归纳出解题的一些门道.这些门道，是我们对于学生解题文化的一种质的认识.跟着感觉走，我们解题的感觉怎么来？

（1）我们从经验中得到启发，这是最基本的，这些经验来源于我们对于已经学过的知识、技能的一种深层的理解，其中包括几何图形的基本图、一些条件下的二级结论，比如出现30°、45°、60°这些角度，我们想办法根据这些特殊角构造出特殊三角形，目的是可以计算；

（2）我们不提倡把数学解题变得死板，这些构造方法的出现，性质引路，还是有一定的作用的，有了方向，我们就考虑这些想法实现的途径.有的思路自然，表面上可能容易展开，如案例变式求AB、BC，作出DH⊥AB，事实上是为了用角平分线性质，我们首先用方程思想，虽然方程容易建立，但是计算量太大了，想到利用面积比来解决可以大大简化计算过程.案例3也是上面思考的综合考量，辅助线的作出，要有利于思考的推进，来源于我们对于相关信息的解读.

（3）牢记初心，解题要反思，在不同思路中权衡方法，要让学生知道你的想法来源于哪里！这是解题教学的本质.