回顾反思想清结构，预设铺垫拾级而上——“菱形存在性”考题的解析与教学建议

☉江苏苏州高新区实验初级中学 杨 颖

菱形的存在性综合题是不少中考把关题的设问方式，这类问题往往只给出待定菱形的两个顶点，而另外两个点都是动点（其中一个在某直线上运动，另一个则随前一动点而定），本文选择两道2018年中考试题的最后一问，讲评思路突破，并跟进教学建议，供研讨.

一、“菱形存在性”考题的思路突破

考题1：（2018年重庆A卷，第26题，有删减）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y=-x2+4x上，且横坐标为1.直线AB平行于x轴，交抛物线于另一点B，点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，连接FH.

（2）如图2，设点Q在直线AB上，且Q点的横坐标为-1，点R为抛物线的对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D、Q、R、S为顶点的四边形为菱形？若存在，求点S的坐标；若不存在，请说明理由.

图1

图2

图3

（2）菱形的分类讨论本质上是等腰三角形的分类讨论，分析出△DQR为等腰三角的不同情形，构造图4，可分析出符合要求的共有4个点，依次得出它们的坐标

图5

图4

进一步分离图形分析出点S的4处对应位置（如图5），依次求出它们的坐标为

考题2 （2018年浙江衢州，第24题，有删减）如图6，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12，0）.动点P在x轴上从点（-10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴的正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t.请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O、B、M、Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值.

图6

思路突破：先分析△OBQ为等腰三角形的不同情形，构造图7、图8进行分析，得出Q的4种不同位置，Q点的横坐标依次为再依次分析出对应的M点的位置，M点的横坐标依次为：-10、6、对应着点P从（-10，0）向右出发，可得对应的t的4个值依次为：0、16、

图7

图8

二、教学建议

1.教师注重解后反思，想清问题结构，明辨备课重点

对于各地中考压轴题来说，很多老师都有解题兴趣，往往能基于个人解题经验或喜好，构思出很多不同解法.然而，相对于一题多解的解法研究，多解归一的反思是更有意义的解题研究，因为多解归一往往就能看清问题结构，问题结构则可与学生所学的基本概念、重要定理、基本图形等直接联系起来，这样就有了备课时的起点，可以选择从基本概念、重要定理或基本图形的复习出发，通过恰当的变式拓展演变到待讲评的问题中去，这当然也是备课重点，也就可以有效化解学生处理这类问题的难点.比如，上文中的考题1“求PH+的最小值”，这一设问的结构是垂线段最短，如何向这个方向转化，则需要熟悉正比例函数y=kx的图像与坐标轴的夹角，熟悉含30°角的直角三角形的边角关系，想清以上几点，预设讲评时就可把这些知识点或基本图形的性质做一个梳理、整合，起到一个预热的情境创设的作用，对后续问题的攻克与讲评起到很好的铺垫作用.

2.引导学生排除干扰，善于目标解析，学会逐个突破

综合题讲评的效率问题是值得深入研讨的，常常是一道综合题讲评之后，会的学生原来就会，不会的学生还是“云里雾里”、似懂非懂，问题稍一变式则又陷入僵局.以本文关注的菱形存在性问题来看，菱形存在性问题的本质是等腰三角形的存在性.这类菱形存在问题首先要引导学生回顾复习菱形的性质，不只是教材上关于菱形的边、角、对角线的性质，还要把菱形与等腰三角形联系起来，思考菱形的对角线将菱形分成的三角形都为等腰三角形这一性质，这样就可以把菱形存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题，而探究等腰三角形的存在，往往是已知两个定点，第三个顶点待定，这时需要以两个定点的连线段为边、对角线分别讨论，确定第三个顶点的不同位置；在此基础上再研究菱形的第4个顶点的位置.等学生都熟练掌握了菱形的存在性问题如何探求之后，再把原问题中的无关线条、图形通过删减或重新画图的方法，引导学生学会排除干扰，开展目标解析，逐个突破，攻克这类问题.

3.设计铺垫式问题，让学生拾级而上，自主挑战难题

开展这类综合题或压轴题的解题教学时，教师需要精心设计教学的各个环节，在明辨教学重点与难点之后，对于重点或难点之处要适当“停下解答”，通过一些铺垫式问题引导学生拾级而上，想清问题，开展目标解析，而不是匆忙给出解答.比如，当学生对已知两个定点探求菱形另外两个点的坐标没有明确的解题方向时，就需要引导学生“以退为进”，先思考“已知两个定点、第三个顶点在某条直线上运动，分析这三个点形成等腰三角形”的解题流程，并在此基础上再思考菱形与等腰三角形的关系，从而最终攻克菱形第四个顶点的坐标.在这个过程中，如果学生的构图误差大，则不利于等腰三角形的分析，进而影响菱形第4个顶点的分析.解题教学时，如果能够常常引导学生“以退为进”地思考问题，不但能解决一道试题，更重要的是能让学生在此过程中收获、感悟“善于退”（华罗庚先生 语）解题策略，而且在“退”的过程中，教师也可诊评出学生的真正障碍所在，有哪些知识或方法上的薄弱点，在后续跟进的练习或讲评中还需要进行训练或变式再练.

三、写在后面

中考解题研究是很多一线教师的教研热点，然而从很多网络（QQ群、微信群或一些自媒体公众号）可见，解题研究的兴趣点往往是解法探讨，模型化小结（甚至很多个性化的名词或“无厘头”概念），有些“网红”模型甚至被少数中考试卷借鉴.笔者无意评论上述现象的积极与消极，只是想提醒有此喜好的老师们，在研究解法之余，最好能从解法研究走向教学研究，构思教学微设计、铺垫式问题或同类结构问题的链接与拓展，这样也许就在解法研究的同时，更好走上服务到解题教学的方向了吧.