经典永流传 改编现考场

☉安徽省阜阳市颍上县八里河中心学校 程永康

一、案例1：2018年德州卷第12题

如图1，等边三角形ABC的边长为4，点O是三角形ABC的中心，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于点D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6.上述结论中正确的个数是（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

图1

图2

图3

图4

1.解析

（1）下面给出证明OD=OE的思路.

思路1：如图2，连接OB、OC，证明△ODB △OEC，全等的条件是ASA.

思路2：如图3，过点O作OH⊥AB，OI⊥BC，证明△OHD △OIE，全等的条件是AAS.

思路3：如图4，根据条件发现点O、D、B、E四点共圆，又∠OBD=∠OBC，所以OD=OE，条件是：在同圆或等圆中，等角对等弦.

（2）下面给出四边形ODBE面积的求解思路.

1.1 研究对象 纳入 2018年1月至 6月在海军军医大学（第二军医大学）长海医院心血管内科行冠状动脉造影检查的老年患者 345例。纳入标准：住院患者，年龄≥60 岁，性别不限，接受冠状动脉造影术检查；排除标准：1 个月内曾服用肾毒性药物，碘过敏，肾动脉狭窄，休克，急性肾功能衰竭，血液透析，恶性肿瘤，配合度差，冠状动脉造影证实为扩张性心肌病、肥厚性心肌病等疾病，以及临床资料不全的患者。本研究已通过海军军医大学（第二军医大学）长海医院医学伦理委员会审批。

思路1：如图2，S四边形ODBE=S△OBC；

思路2：如图3，S四边形ODBE=S四边形OHBI=2S△OBI.

（3）最后给出△BDE周长最小值的求法.

根据前面的结论，易得△BDE中BD和BE两条边的和为4，只需求出边DE的最小值即可.

思路1：在等腰三角形ODE中，易得DE=2OD·sin60°=而OD的最小值易求，即为OH的长度（如图3）；

思路2：可以在三角形DBE中根据余弦定理，然后构造二次函数，进而可得DE的最小值（其中可设DB=x，所以BE=4-x，而∠B=60°，即cos60

2.赏析

此题以等边三角形为载体（实质上只是一层“外衣”），综合考查了初中阶段的核心知识，比如三角形的全等、割补法求四边形的面积、最值问题、等腰三角形、四点共圆等.这个问题在教材和往年其他地区的中考试题中多次出现（比如2017年陕西卷第14题、2017年滨州卷第11题、2017年临沂市第25题等，限于篇幅，不具体呈现，读者可自行查阅），只要一线教师教学中能够抓住此类问题的本质即可：对角互补且有一组邻边相等（一条对角线是其中一个内角的角平分线）的四边形.只要一个四边形，满足上述两个条件，就可以命制类似的试题，这应该就是此类问题的“深层结构”（如图5，四边形ABCD对角互补，且BD平分∠ABC或AD=CD）.

图5

二、案例2：2018年北京卷第27题

如图6，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH.

（1）求证：GF=GC；

（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明.

1.解析

（1）下面给出第（1）问的证明思路.

图6

图7

（2）下面给出第（2）问的思路

思路1：如图8，在AD上取点P，使AP=AE，连接EP，证明△DPE △EBH即可，条件是SAS，所以EP=HB，进而（说明：此时根据全等可得∠EBH=∠DPE=135°，进而∠CBH=45°，可得BH是正方形ABCD外角的角平分线）

图8

图9

思路2：如图9，过点H作HI垂直于AB的延长线于点I，证明△DAE △EIH，条件是AAS.又由于AB=AD=IE，所以AE+EB=IB+EB，所以AE=IB.又AE=IH，所以IH=IB，进而得证.（说明：通过上述证明过程同样可以说明BH是正方形ABCD的外角的角平分线）

2.赏析

此题是一道在经典试题基础上进行的再次改编，它将初中阶段两个经典的基本图形融合在一起，综合考查了学生的基础知识和基本技能，是一道难得的好题.

该题中的第一个基本图形是“大角夹半角”的基本模型（如图10），其有三个本质的条件：45°（符合半角），AD=CD，∠A=∠C=90°（符合二者互补即可），显然此题还可以有更一般的推广.

该题中的第二个基本图形来自于教材习题（如图11），它主要涉及如下三点：ED=EH，ED⊥EH，BH是正方形ABCD外角的角平分线，以上三点如果知道其中任意两点都可以推出第三点，这应该是对本题较深的理解，只有这样才能够做到“以不变应万变”.此外，此图中相关的结论如果用“四点共圆（D、E、Q、C四点共圆）”来说明会更容易.最后，点E除了可以是边AB上的一动点（不与点A、B重合），还可以在AB的延长线或反向延长线上，同样会有类似的结论.

图10

图11

经典永流传.每年的中考试题会出现一些创新题，但这毕竟是少数，大多是以改编题为主，特别是基于经典问题的改编题，如上案例1和案例2，这是我们一线教师备考的一个方向，相信这是一种不错的方式.

改编现考场.变式教学是我国数学教育的典型特点，改编的方式较多，特别是对于几何的典型问题，可以变条件、变图形、变结论、可以交换条件和结论等，只要学生掌握这些变式的方式，就可以实现“做一题、会一类、通一片”的目的，达到举一反三、触类旁通的效果.