中学数学思想方法的一些感想

王才军

摘 要：思想可以解释为客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果.数学思想是人们进行数学思维的结果.数学知识、数学方法、数学思想既不可分，又不是同一层面的问题.数学知识是基础，数学方法是根本，数学思想是灵魂。

关键词：中学；数学；思想方法；感想

中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2018）18-023-01

数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休.切莫忘，几何代数统一体，永远联系莫分离”。把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。突出数形结合思想方法的应用，达到灵活运用的程度，然后总结归纳才产生记忆，这种在产生大量的丰富的经验下形成的记忆最深刻。

中学数学中用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。主要是培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力，运用数学思想方法去学习新的数学方法.这里有转化思想。即抛物线解析式中二次项系数不为1的一般式转化成系数为1的一般式，系数为1的一般式转化成顶点式。

数学思想不可能象数学知识那样一步到位，它需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程.这一个过程中是从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的螺旋上升过程.在过程中，需要我们教师做一个“过程”的加强者，不断的用我们的数学思想“敲打”学生的思维、让学生在一次次的“敲打”过程中，不断的积累、不断的感悟、不斷的明朗，直到最后的主动应用。

在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合——分——合”的解决问题的过程，就是分类与整合的思想方法。

分类与整合的思想是以概念的划分，集合的分类为基础的思想方法，对分类与整合的思想的考查，有以下几个方面。

一是考查有没有分类意识，遇到应该分类的情况，是否想到要分类，什么样的问题需要分类？例如

（1）有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念，又如整数分为奇数、偶数，把三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形等等；

（2）有的运算法则和定理，公式是分类给出的，例如求一元二次不等式的解又分为及共六种情况。

（3）图形位置的相对变化也会引起分类，例如两点在同一平面的同侧，异侧，二次函数图像的对称轴相对于定义域的不同位置等；

（4）整数的同余类，如把整数分成奇数和偶数等。

二是如何分类，即要会科学地分类，分类要标准统一，不重不漏；

三是分类之后如何研究；

四是如何整合。

分类讨论的数学思想方法在解决问题中占有重要地位，其原因是分类讨论本身有明显的逻辑特点，再之能训练思维的条理性和概括性.分类讨论是一种“化整为零、各个击破，再积零为整”的解题思路和解题策略.分类要求标准统一，不遗漏，不重复，分层次，不越级讨论.解题步骤大致为：

①确定分类标准，正确进行分类；

②逐步进行讨论，获得阶段性结果；

③适当归纳小结，综合得出结论。

化归与转化的思想是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题.事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归.例如，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等等.对化归思想，结合对演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力，因此可以说每一个数学问题，都是化归意识和转化能力的体现。

由特殊到一般，再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一，对数学而言，这种由特殊到一般，再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的过程，就是数学研究的特殊与一般的思想。

在中学教学中设计一些能集中体现特殊与一般的思想的问题，例如：

（1）由一般归纳法进行猜想；

（2）由平面到立体，由特殊到一般进行类比猜想；

（3）函数问题的处理；

（4）定点，定值问题；

（5）用特殊化方法解选择题，如构造特殊函数、特殊序列、寻找特殊点、确定特殊位置、利用特殊值、特殊方程等；

（6）运动变化问题、不确定问题等。

“对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个研究对象的研究往往有章可循，并积累了一定的经验，而对无限个研究对象的研究，却往往不知如何下手，显得经验不足，于是将对无限的研究化成对有限的研究，就成了解决无限问题的必经之路，反之，当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决，这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想。”

在数学学习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，有意识地在复习中渗透数学思想，提升数学思想。