飞机结构拓扑优化方法研究

□ 李英磊 □ 曹宗杰

中国人民解放军空军航空大学航空作战勤务学院 长春 130022

1 研究背景

随着航空事业的发展，综合性能更高的航空器才能适应现代战争的需求，例如飞机要有良好的气动性能、较少的材料损耗、较长的使用寿命［1］，且维修方便。目前，要求航空器在研发设计生产中具有结构轻量化、布局智能化、强度最优化的特点［2-5］。

结构优化设计在航空科技领域中广泛采用的方法主要有尺寸优化、形状优化和拓扑优化三种［6］。尺寸优化的主要对象是杆件截面积、板壳厚度等，形状优化的主要对象是结构外观形状或者孔洞形状，拓扑优化则是研究材料分布问题［7］。

拓扑优化设计是机械、电子、力学、控制、仿真、材料、先进制造技术等多学科的交叉耦合，广泛应用于建筑、机械、兵器科学、飞机制造、载人航天、探月工程等重大领域［8-10］。材料科学和制造工艺的迅猛发展为这种设计方法的实现提供了保障，目前拓扑优化方法已达到实用阶段，具有完整的设计体系。

2 拓扑优化分类

拓扑优化是一种在初始拓扑结构未知条件下，寻找材料空间最佳传力路径，设计满足约束条件的最优材料布置形式和结构轻量化的优化方法。拓扑优化按照研究对象的不同，可分为离散结构拓扑优化与连续体结构拓扑优化两类，笔者研究的飞机结构拓扑优化设计多为连续体结构拓扑优化。笔者重点对比研究目前在飞机结构拓扑优化设计中应用的几类较常见的方法。

3 飞机结构拓扑优化主要方法

现如今，连续体拓扑优化技术已建立了多准则、多学科和多目标优化设计的基本架构，并在飞机实际结构减重设计中得到应用［11］。

目前常用的连续体拓扑优化方法有均匀化拓扑优化法、变密度拓扑优化法、渐进结构拓扑优化法、变厚度拓扑优化法、独立连续映射拓扑优化法、水平集函数拓扑优化法［12］。

3.1 均匀化拓扑优化法

1988年，均匀化拓扑优化法作为第一种系统的连续体拓扑优化方法被发表，意味着连续体拓扑优化方法由理论研究转为实践应用。均匀化拓扑优化法借助微结构的思想，把较易于理解的尺寸优化概念用于拓扑优化中，即把难度较大的拓扑优化求解问题转化为难度较小的尺寸优化求解问题。因为在尺寸优化中已知灵敏度，设计修改就非常便捷了，可以在考虑极少影响因素的情况下直接对有限元模型作出对应修改。当用参数方程定义结构形状时，计算灵敏度与形状灵敏度的关系可以等价为孔洞尺寸与微小实体结构体积的关系。均匀化拓扑优化模型为：

式中：a、b为微小孔洞边长；l为微小孔洞最大孔洞尺寸；θ为微小孔洞角度；Ω为设计区域；C（X）为结构整体柔度；F结构载荷向量；U为结构节点位移向量；Vi为结构拓扑优化后的体积；Vmax为保留结构最大体积。

3.2 变密度拓扑优化法

1993年，在均匀化拓扑优化法的基础上，诞生了变密度拓扑优化法。变密度拓扑优化法又称伪密度拓扑优化法，伪密度的含义是，假设构成结构的材料密度与材料的某一个或几个物理参数存在函数关系，材料的伪密度可在区间［0，1］之间取值［13］。当拓扑优化模型的伪密度值在［0，1］之间任意连续取值时，若单元处为空孔，则求解后单元的伪密度为0。若单元处为实体，则求解后单元的伪密度为1。若伪密度在0.5附近，则引入幂指数惩罚项对中间值进行惩罚，使其更好地偏向0或1端［14］。变密度拓扑优化模型为：

式中：xi为第i个设计变量；K为结构的整体刚度矩阵；V0为结构的初始体积；f为体积分数；xmin为设计变量所能取得的最小值；xmax为设计变量所能取得的最大值。

3.3 渐进结构拓扑优化法

1993年提出的渐进结构拓扑优化法，其原理为逐步删除无效与低效率材料来达到拓扑优化的目的［15］。通常，应用渐进结构拓扑优化法时去除材料可采用两种方法，一种是对应力、应变能量密度函数的弹性模量做调整，另一种是对低应力、低应变能量密度的材料空间做删减。双向渐进结构拓扑优化法是在渐进结构拓扑优化法的基础上得来的，这一方法在删除低效材料时，采用移除低灵敏度实体单元和增加高灵敏度空单元的方法，实现高应力区域周围材料的增减［16］。这一方法以简单设计区域为研究起点，以应力为约束条件，以结构最小质量为优化目标，可以大大减化有限元问题分析过程，并大幅提高计算效率。渐进结构拓扑优化模型为：

式中：M为总质量；mi为第i个单元的质量；σmax为单元最大应力；［σ］为许用应力。

3.4 变厚度拓扑优化法

1994年，变厚度拓扑优化法首次提出，并应用于薄壳结构分析的拓扑优化问题。顾名思义，变厚度拓扑优化法中的优化变量即为单元厚度，其基本思想为若单元厚度是均匀不变的，可以把复杂连续的拓扑优化变量问题简化为厚度大小问题。拓扑优化后，可以得到带有空孔且厚度均匀的平面薄板或平面壳体结构，使用单元厚度阈值进行限定，单元厚度将朝着实体或者空孔进化，最终完成结构的拓扑优化。变厚度拓扑优化模型为：

式中：hi为第i个单元的厚度；V为结构体积；Si为第i个单元的面积；hmax为单元厚度所能取得的最大值。

3.5 独立连续映射拓扑优化法

独立连续映射拓扑优化法是在1996年提出的，它摒弃了常用的以结构单元尺寸、面积、厚度和密度等单元特性为设计变量的思想，创新引入变量参数概念来表示单元实体与空心，并且这一变量参数与单元特征无关。

建立独立连续映射拓扑优化模型，需要用到阶跃函数、磨光函数、跨栏函数、过滤函数，用于实现在［0，1］区间上的离散-连续/求解-离散过程。

独立连续映射拓扑优化法从分布在［0，1］上的由离散变量组成的阶跃函数开始优化，取磨光函数逼近阶跃函数。因为磨光函数是连续函数，所以采取磨光函数可以尽可能逼近0或1的拓扑变量特性，可使阶跃函数连续化，完成离散-连续的过程。

选择相匹配的优化设计算法，依据待求问题的数学模型与某一阈值的关系，对连续体拓扑优化问题进行求解。

定义阶跃函数的逆映射为跨栏函数，磨光函数的逆映射为过滤函数，可将映射在［0，1］区间上的连续变量的优化结果反映至离散的最优设计变量，完成连续-离散的过程。

以结构质量为目标函数，以应力、频率、位移等为约束条件，独立连续映射拓扑优化模型可表示为：

式中：ti为表征第i个单元有无的拓扑变量；W为总质量，wi为第 i个单元的质量； gj（t）为位移、应力、频率等参数的约束方程；tmin为变量所能取得的最小值。

3.6 水平集函数拓扑优化法

水平集函数拓扑优化法是常见的数值优化方法之一。在2000年，水平集函数拓扑优化法作为处理等应力结构优化的一种有效方法，引入结构拓扑优化中，并且逐步改进应用至高边界分辨率刚度结构的拓扑优化求解问题领域。水平集函数拓扑优化法把二维或三维结构对应取三维或四维的水平集函数，用零水平集来表示，这样结构在边界应力大处向外扩张，即增加材料，在应力小处向内收缩，即删除材料，这一过程可由水平集函数的变化求解直观反映。水平集函数φ＝φ（x，t）可表示为：

式中：S为设计区域几何边界，即零等值线或面；D为优化过程中结构的改变构型。

以水平集函数φ（x）为设计变量，以整体柔度为目标函数，水平集函数拓扑优化模型可表示为：

式中：C（u）为水平集设计区域的结构整体柔度；F（u）为结构受力；Eijkl为不同材料的杨氏模量；εij、εkl为不同材料的应变张量；p为体积力；τ为边界载荷；u为位移；u0为初始位移；v为虚位移。

4 拓扑优化方法特点

传统的设计过程中，工程师依靠自身经验或借鉴原有型号飞机结构，初步设定每个元件尺寸大小和位置分布，再通过模拟试验收集数据，计算校核设计方案的可行性，这种方法往往需要大量烦琐工作才能达到设计要求。因此，传统的设计过程一方面会更多地注重结构的强度和寿命等安全性因素，造成减重效果并不理想；另一方面过多依赖工程师个人主观经验，会造成一定程度的人力与财物浪费，拖延研发周期，同时缺乏严谨的设计准则和依据［17］。

飞机结构拓扑优化设计方法可以较好解决以上问题，以基本力学理论和有限元原理建立数学模型，借助计算机辅助设计理论与计算辅助制造软件完成对设计要求的设定、运算和分析布置，为新型飞机结构设计定型和已定型飞机结构减重优化提供精确、规范、有利用价值的设计参考方案。

均匀化拓扑优化法通过尺寸的变化来达成结构体的增减，最终完成拓扑优化过程。这一方法为拓扑优化的经典方法，原理成熟，常用于较好地处理病态材料分配问题。

变密度拓扑优化法通过引入伪密度概念，在假设材料密度可变的条件下探究密度与物理属性间的非线性关系，并以此建模［18］。常用的插值模型有基于人工材料模拟密度基础提出的以正交各向同性材料指数为惩罚函数的各向同性材料惩罚模型，以及插值函数以有理函数形式建立的材料属性合理近似模型两种，实际应用中以各向同性材料惩罚模型较多［19］。

渐进结构拓扑优化法的核心思想是满应力准则，假设结构中各部分的应力大小均完全相等且接近安全极限。满应力准则可以保证在拓扑优化迭代中，结构始终保持良好的力学性能，因此在工程实践中研究与应用广泛。

变厚度拓扑优化法以厚度为设计变量，数学模型较为简单且易求解，处理二维平面的拓扑优化问题非常方便。这一方法针对的主要是平面弹性体、薄板和壳体等二维结构，对三维实体结构不适用。

独立连续映射拓扑优化法使离散变量经过多次映射运算，转化为求连续变量问题。这一方法得到的模型连续光滑，求解速度和效率均显著提高，但因为映射方法的求解数值不稳定，在求解边界处较易形成锯齿状、棋盘格现象。

水平集函数拓扑优化法能较好地满足连续体优化的需求，但局限性也很明显，初始值依赖性强，每迭代一次需重新计算水平集函数，且在二维问题求解时不能生成孔，边界优化收敛速度远慢于其它优化方法，运算时间长。水平集函数拓扑优化法被引入拓扑优化领域较晚，是一种较新型的优化方法，但受上述原因影响，这一方法目前在工程实践中应用较少。

拓扑优化方法求解时易发生四类影响数值计算结果的问题：棋盘格、多孔材料、网格依赖、局部极值。当出现棋盘格和多孔材料现象时，对可制造性影响较大。当出现网格依赖现象时，对可靠性影响较大。局部极值问题则会引起无全局最优解或无工程可行解［20］。棋盘格和网格依赖现象总是同时出现、同时消失。上述拓扑优化方法各有利弊，表1为拓扑优化方法的对比。

5 总结

介绍了拓扑优化的主要方法和优缺点，总结了拓扑优化模型。针对各方法的应用范围和特点加以归纳整理。结构拓扑优化在解决工程实际问题中是常用的设计方法，使用拓扑优化设计方法参与飞机的各个结构件乃至整个飞机的结构布局设计，对减轻飞机质量、降低制造成本、节省材料、减少环境和噪声污染等都有很大作用。

表1 拓扑优化方法对比