对称结构分析的一种新的群论方法

吴锋　李昱葶　彭海军

摘要： 传统群论方法涉及特征标表、不可约表示、投影算子等高等数学理论，计算格式复杂，为此提出一种新的群论方法，該方法仅涉及群论的基本概念，无须掌握高深的数学知识，计算格式简单灵活。数值算例表明，本文方法理论可靠、计算结果正确。

关键词：对称结构； 群论； 结构分析

中图分类号： TU312.1

文献标志码： A

Abstract：The classical group theory method involves some advanced mathematical theories， such as character table， irreducible representation， projection operator and so on. Its computational scheme is complex. To deal with this disadvantage， a new group theory method is developed. The new group theory method involves only the basic group definition， and the advanced mathematical theories are disused. Its computational scheme is easy and flexible. Numerical examples show that the proposed method is based on a reliable theory and can give correct computational results.

Key words：symmetric structure； group theory； structural analysis

0 引 言

很多高层建筑及大跨度空间结构可视为对称结构，其特点是由许多基本单元组合重复排列而成的。[1-3]对称结构往往具有良好的力学性能和美学优势，便于建模和加工。对于具有一定对称性且承受同样对称形式载荷的结构，经常利用结构的对称性来降低问题的计算量。[4]然而，对于具有非对称载荷的、工况复杂的对称结构，如何利用其对称性以减少计算工作量还很值得研究。

将群论用于描述结构对称性，在物理[5]、化学[6]、几何结晶学[7]和密码学[8]等领域有广泛的应用。早在1978年，钟万勰等[4]首先将群论应用于对称结构分析，根据对称群的不可约表示，将位移转换成不可约子空间基底上的广义位移，从而将刚度矩阵转换成对角块矩阵，不仅减少计算内存，且大大降低计算量，节省计算时间，为群论方法在对称结构分析中的应用奠定了基础。此后，THOMAS[9]等研究周期性旋转结构，将其变为单一子结构的Hermite矩阵特征值问题进行求解，从而提出一种精确的特征值算法。WILLIAMS[10-12]、KAVEH等[13]利用群表示理论，分析旋转对称、左右对称结构的特征值问题。FRICKER等[14]在THOMAS等的基础上考虑阻尼矩阵可以解耦的情形，结合群论方法和振型叠加法分析结构的瞬态响应。蔡成武研究在干扰力作用下拟旋转周期结构的强迫振动问题的群论分析方法。[15]KAVEN等[15-16]将克罗内克积与群论相结合，分析对称性的桁架塔结构。CHEN等[17]将群论方法与图积相结合，用于分析对称预应力结构的屈曲问题。高强等[18]基于周期结构的对称性和动力问题的物理特性，给出一种计算周期结构对应矩阵指数的高效率方法。刘岭等[19]和裘春航等[20]利用群表示理论，将旋转周期对称结构推广至任意边界条件。ZINGONI[21]将群论推广至具有弱对称性的弹簧-质量系统当中。RICHARDSON等[22]将群论方法应用到结构优化问题。KANGWAI等[23]详细回顾群论的发展，系统地介绍群论方法在对称结构上的应用。以上种种研究表明，群论方法可适用于对称结构的静力分析、动力特性、振动响应和屈曲分析等各种力学问题，能大大降低对称结构分析的计算量。然而，目前实际工程中关于群论方法的研究鲜有报道，可见工程师对群论方法的了解还不多。群论方法分析对称结构，涉及群的不可约表示、投影算子、特征标表和舒尔定理等高深的数学理论，而这些理论不易掌握，限制了群论方法在工程的运用。

本文对传统群论方法加以改进，提出一个实现群论方法的简单途径。该方法仅涉及群的基本定义和特征向量等概念，不涉及传统群论方法中不可约化、计算投影算子和查询特征标表等一系列过程，使得问题处理变得简单便捷。

1 基本理论

1.1 对称结构的群表示

对某对称结构进行静力分析，采用有限元等数值仿真方法建模，其刚度方程为

式中：K为N×N的刚度阵，N为结构的总自由度数；X和F分别为N×1的位移和载荷向量。对称结构的特点是其几何和物理属性均具有空间上的对称性，对结构进行对称变换后，结构形式与变换前的结构形式完全一致。在对变换前、后2种结构进行仿真建模时，其刚度矩阵完全相同。为方便说明对称结构的这一特点，以对称弹簧-质量结构为例进行说明，见图1。

必须注意到，Ri不是唯一的，比如单位阵I本身也具有式（5）的性质。实际上可以找到一组矩阵Ri组成的集合，该集合中每个元素Ri均可满足式（5），且这些元素构成的集合满足群的定义。这样的矩阵集合便是该群的一个群表示。利用群表示理论，可以找到一组基向量rj，使得K成为对角块矩阵，从而降低计算量。[4]因此，如何建立这组基向量rj，便是实现群论方法的关键步骤。目前，一般用特征标表和投影算子理论建立这组基向量。

1.2 特征标表和投影算子

必须指出，一个群的群表示并不是唯一的，在这些不同的群表示中，有些是等价的，有些还是不可约的。关于群表示的等价性以及不可约表示等内容，可以参考文献[4]，这里不再详细介绍。

根据群表示理论，某群若有q个群元，则有q个不等价的不可约表示，即共有q个不等价和不可约的幺正表示，每个幺正表示又有q个特征标，因此每个群均存在一个特征标表（目前常用的群的特征标表均可查到）。在特征标表中，每个不等价的不可约幺正表示的特征标构成一组特征标向量χi，于是共有q个不同的特征标向量。设任给一个向量Y，其投影算子定义为

2 刚度阵对角化新途径

传统的群方法通过投影算子生成基向量，主要用到投影定理、特征标表、不可约表示和舒尔定理等相关数学理论，而这些理论对于工程师来说太过高深，不易掌握。本节将给出一个实现群论方法的简单途径，其基本知识只涉及群的基本定义和特征向量等。

2.1 对称结构的群表示矩阵的特征向量

至此，式（1）变化为式（16），通过求解式（16）可得到式（1）的解。因为当λm≠λn时，Kyn与m正交，必有TmKyn=0，所以是一个对角块矩阵，求解式（16）要方便得多。中对角块矩阵的数目越多，求解所需的计算量越少。从式（14）和（17）可知，的对角块数目与矩阵Ri特征值的重根数目相关，若Ri的N个特征值互不相同，则将是一个对角矩阵，此时求解所需的计算量最少。

综上所述，对于一个对称结构，可以不从特征标表和投影算子的途径得到基向量，因为群表示矩阵的特征向量便是一种基向量。利用群表示矩阵的特征向量，可使刚度矩阵对角化，而特征向量等概念都是工程师较为熟悉的，这给群论在对称结构分析中的应用提供一个新的途径。

2.2 群表示矩阵的组合

群表示矩阵的特征向量可以使刚度矩阵对角化，其中用到一個比较关键的性质是KRi=RiK，对此进一步深入讨论。

利用以上性质，可以将不同的群表示矩阵，用加法、乘法、转置和李括号等4种算子进行组合。组合后的矩阵可能不再是结构的群表示矩阵，但由于仍然满足[K G]=0，所以其特征向量仍然可以使得刚度矩阵对角化。这样做有如下3个优点。

（1）对于不对称的矩阵R，利用上述性质可得G=R+RT。G=GT为对称矩阵，只需计算一次特征值和特征向量，且其特征值和特征向量均是实数，可以避免复数运算。

（2）利用不同群表示矩阵的组合得到G，其特征值分布尽可能没有重根，从而可以使得刚度矩阵尽可能地块对角化。

（3）实际的对称结构常常同时包含旋转对称和镜面对称等不同类型的对称群结构，通过利用不同的群表示矩阵进行组合，可以充分运用结构的对称性进行计算。

虽然以上讨论均基于刚度矩阵进行，但是在对称结构的仿真分析时，群表示矩阵R对于动力分析涉及的质量矩阵M、阻尼矩阵C和屈曲分析中涉及的几何矩阵N等，也具有如下性质，

因此，利用群表示矩阵的特征向量，亦可使质量矩阵M、阻尼矩阵C和几何矩阵N对角块化，从而提高这些问题分析的计算效率。

2.3 Kronecker积

对于实际工程中的大规模周期结构，其群表示矩阵大多可表示为单位阵与最小对称单元的群表示矩阵的Kronecker积，即写成IR，其中，R为基本的群表示矩阵，I为单位矩阵，表示Kronecker积。根据矩阵论，若R的特征向量矩阵为Y，则IR的特征向量矩阵为IY，因此实际上只需要求解最小对称单元的群表示矩阵的特征向量，计算量很小。关于最小对称单元的群表示矩阵以及Kronecker积的相关内容，可以参照文献[17]，这里不再给出详细介绍。

3 算 例

某15层钢桁架结构整体模型见图2a）。桁架底端固定在地面上，各层的基本结构相似，仅杆件尺寸不同。其第n层的基本结构见图2b），由an、bn和cn等3种不同杆件构成，各层结构的杆件尺寸见表1。所有杆件材料均为钢材，弹性模量E和密度分别为2.06×105 MPa和7 800 kg/m3，横截面面积为0.1 m2。底端固定约束的4个点构成的平面定义为xz平面，竖直方向为y方向。每层塔的序号由下至上依次为1～16。考虑静力和动力2种情况进行分析，验证本文方法的有效性。

3.1 静力桁架分析

在桁架顶端的节点A处施加垂直向下的集中力，大小为108 N。采用杆单元对上述桁架进行有限元建模，得到刚度矩阵K和载荷向量F后，直接求解刚度方程，所得的解为参考解。刚度矩阵K、载荷向量F以及参考解借助ANSYS分析得到。导出刚度矩阵和载荷向量后，再利用群表示矩阵的特征向量将刚度矩阵对角化后进行计算。图2所示桁架的每一层在xz平面的投影均为正方形（见图3），具有多种对称性，这里选用镜面对称计算。每层桁架的4个节点关于oo轴和pp轴对称，先分析关于oo轴对称的群表示矩阵。

3.2 动力响应分析

仍以图2a）所示桁架为例，以1940年EI Centro地震的南北方向地震加速度为x方向的地震动输入，采样周期为0.02 s，时间步总数为1 500步。采用瑞利阻尼模型，阻尼矩阵为C=0.24M+0.001 6K。

仍采用ANSYS建模计算得到的解为参考解，然后从ANSYS中导出刚度矩阵K和质量矩阵M，采用与静力分析相同的群表示矩阵分析。动力响应分析研究比较成熟[24-26]，目前有许多优秀算法，这里选择Newmark算法计算。本文方法计算得到的顶层A点在x方向的位移响应见图4a），A点在x方向的位移与参考位移的误差见图4b）。由此可以看出，误差基本在10-13的量级，这说明本文方法对于桁架的地震响应分析依然有效，计算结果与参考解基本相同。

有限元建模得到的刚度矩阵K和对角化后的刚度矩阵的非零元素分布见图5，有限元建模得

到的质量矩阵M和对角化后的质量矩阵的非零元素分布见图6，其中nz表示非零元素个数。由图5和6可见，不论是刚度矩阵还是质量矩阵，在利用群表示矩阵对角化后，矩阵的非零元素和矩阵带宽均远小于原矩阵中的非零元素和矩阵带宽，即计算存储量变小了。同时，对角化后的刚度矩阵和质量矩阵均为6对角块矩阵，这意味着可以分块求解每个对角矩阵。维数为N的刚度矩阵K计算量约为

O（N2），分塊求解每个小的n维对角块矩阵，其计算量为O（n2），显然分块求解计算量要小得多。这里采用2种群表示矩阵的组合，即G=Roo+πRpp。若仅仅采用Roo或Rpp，则只能将刚度矩阵或质量矩阵转化成二对角块矩阵，因此采用群表示矩阵组合的效果比采用单一类型的对称群表示矩阵效果更好。

4 结束语

为分析对称结构，提出一种新的群论方法。该方法利用对称结构的群表示矩阵的特征向量，可以将对称结构的刚度矩阵、质量矩阵等系统矩阵变换为对称块矩阵。与传统群论方法相比，本文方法不涉及不可约表示、投影算子、舒尔定理和特征标表等理论，易于掌握和推广。当对称结构具有多重不同类型的对称时，可以充分运用结构的对称性，将不同的群表示矩阵进行组合，使系统矩阵能够尽可能地块对角化。工程中存在许多对称结构，如空间大跨度网架结构、径球面射电望远镜FAST和卫星天线等，本文推导的群论方法能给这些问题的分析带来帮助。

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（编辑 武晓英）