高中数学中函数与方程思想的研究

河南省濮阳市职业中专 邱爱珍

一、函数与方程思想相关概念解析

函数与方程思想是高中数学中常用的一类思想，数学思想是解决数学问题的灵魂所在，能够让复杂的数学题型变得简单化，因此函数与方程思想也是学生应当重点掌握的学习内容。我们在理解函数与方程思想时可以将其分解开来，所谓函数思想，就是将图像与性质通过函数关系相互联系起来以解决实际问题，简单地讲就是当遇到具体的数学问题时，我们需要把题干中给出的不等式或者方程问题利用函数思想转化为函数问题，然后再利用函数的相关知识进行解答。在实践教学中我们发现，原来较为复杂的方程或不等式问题通过转化，解题步骤变得更简单，解题思路也更加清晰，不仅是方程问题我们能够用函数思想解答，函数问题我们同样可以用方程思想进行解答。所谓方程思想，就是利用方程的相关概念找出与函数的关系，构造与函数关系相对应的方程表达式，最终解决函数问题。我们可以将函数y=f（x）转化成方程f（x）-y=0，那么在解题时，我们就可以通过解方程的方法回答出函数问题。如果一个函数问题中还包括值域、定义域的问题，通过函数向方程的转化更是可以简化操作步骤，帮助学生更加简单清晰地理清思路。

二、高中数学中函数与方程思想的应用

利用函数与方程思想解决具体问题是高中数学教学中的一项重要的教学内容，在教学中要引导学生找出函数与方程之间的关系，注意培养数学思想，同时要避免陷入误区，例如在解析函数时，不能忽视定义域，如果定义域是确定的，在利用待定系数法进行解答时，还要弄清楚函数的类型，总之要保持严谨的解题思路，做到正确分析与处理。以下就结合具体实例分析高中数学中函数与方程思想的应用。

例1 定义x1满足条件：2x+2x=5，同时x2满足条件：2x+2log2（x-1）=5，求x1+x2的值是多少。

例2 已知关于a的方程2x2a-2-7xa-1+3=0，该方程的一个根是2，求另一个根以及x的值是多少。

分析：当我们看到这个题时，有许多学生会陷入思想上的误区将其看作是关于x的方程，实际上题干中已经表明了这是关于a的方程，因此正确审题非常重要。在进行分析解答时，我们要将x作为一个需要我们求知的“已知数”，而a是一个未知数，我们利用换元法构造关于a的函数m=xa-1，通过函数与方程思想将关于a的方程转化成关于m的方程，即2m2-7m+3=0。通过转换，我们的解题思路一下就明朗了许多，通过方程的相关知识，可以求出m的值是3或者，将其代入可以得出方程x的值是3或者，那么再将x的值代入到a的方程就可以得到a=1-log32。

例3 函数f（x）是关于原点对称（对任意的x都满足）的减函数，其定义域是R ，求对应m的取值范围是多少。

分析：这道题还是比较有难度的，对于学生数学解题能力的要求比较高，既考查了函数的单调性问题，同时又考查函数的奇偶性以及不等式与二次函数等内容。不少学生在面对这道数学题感到非常困惑，不知道从哪里进行突破。其实利用函数与方程思想可以较为轻松地简化解题步骤，同时还要引导学生利用数形结合思想，让解题思路更加开阔。

通过题干中的已知条件，函数f（x）是关于原点对称（对任意的x都满足）的减函数，我们可以了解到函数f（x）是一个奇函数，那么3m-5 ＞ cos2θ-2msin2θ 就是 3m-4-sin2θ+2msin2θ＜ 0。这时我们利用函数与方程思想，利用换元的方式构造函数，最后得出（t+m）2-4-m2-3m＞0，再对换元的函数等价交换，得出f（t）=（t+m）2-4-m2-3m，这时再结合二次函数的单调性的相关知识点，就可以求解出最后的答案。

三、函数与方程思想解题归纳

函数与方程思想是我们在数学教学中要重点引导学生掌握的一项数学思想，在实际教学中，教师要结合学生的数学实际能力以及基础水平，采取更有针对性的教学策略。在利用函数与方程思想进行数学实际问题的分析解答时，教师要给予学生充分的时间进行自我思考，不要一上来就带领学生一步步地展开分析计算，而是要让学生自己探索发现函数与方程之间的巧妙关系，引导学生从方程与函数的角度入手尝试解答。另外，教师还应该意识到的是，不能单纯地将函数与方程思想当作解决数学问题的工具，而是要将其作为一种指导思想，培养学生的思维能力，活跃学生看待与解决实际问题的思路，要注意在平时的数学教学课堂上渗透数学思想，逐渐锻炼学生的数学思维。

函数与方程思想是高中数学中常见的数学思想，利于帮助学生简化解题步骤，明晰解题思路。教师在日常教学中一定要多渗透数学思想的教育，引导学生利用数学思想解决实际问题。