基于ARFIMA—GARCH模型族的黄金价格预测分析

陈鹏 李星野

摘要：本文针对黄金价格的长记忆性进行实证研究，利用Hurst指数来证实黄金价格中确实存在显著的长记忆性。以此对黄金价格的收益率进行分数差分后，再建立ARFIMA-GARCH模型族，从而反映了黄金收益率序列的波动聚集性。通过对不同模型的误差绝对值对比，选取出最能体现黄金价格序列动态特征的模型。实证结果表明，该类模型能够很好的反映黄金价格的波动规律，能够给投资者提供决策意见。

关键词：长记忆性；Hurst指数；ARFIMA-GARCH模型族

引言

黄金越来越成为世界瞩目的财富，它是一种良好的保值产品，所以全球各国的政府机构都会争相储备黄金用来应对国家衰落或者经济危机时抛售，以此来维持国家稳定。因此，对于黄金价格的预测分析就有了很重要的实际意义。

Hurst[1]在对尼罗河水库水流量和贮存能力关系进行研究时，发现水利时间序列具有长记忆性特点。Mandelbrot[2]在之后的资本市场研究所提出的了分形布朗运动为金融市场的研究奠定了长记忆性的数学基础。Peters E[3]首次提出了分形市场假说，并提出了R/S分析法。随后Hosking[4]提出的ARFIMA模型、Engel[5] 提出的ARCH模型和Bollerslev[6]提出的GARCH模型让我们在市场研究中更能有效的捕捉到市场的长记忆性和异方差性。在对黄金时间序列预测的方向中，国内更多人选择了用统计分析方法来研究价格波动的内在机制（如罗祯[7]、楼晓东[8]、潘贵豪[9]等），通过研究发现ARFIMA建立的模型比ARIMA建立的模型在预测黄金价格走势方面效果更佳。

本文尝试引入基于分形分析的长记忆性研究，分别黄金价格时间序列建立ARFIMA-GARCH模型族，实证结果证明其确实具有长记忆性和异方差性，预测误差非常小，预测价格波动趋势基本一致。

1、模型介绍

1.1 长记忆性检验

关于长期记忆性的检验，一些学者采用重标极差统计量进行分析（即R/S分析法），该分析方法主要利用时序的全距与标准差之间的关系建立统计量，通过假设检验的思想得到结果。对于时间序列{Xt}，t=1，2，…，T，取n个序列观测值，则R/S统计量为：

1.2 ARFIMA模型

通过对d值的确定之后，开始建立以d=H-0.5阶差分（d为分数）建立的ARMA模型即为ARFIMA模型：

Φ（B）表示p阶平稳的自回归滞后算子，θ（B）表示q阶可逆的移动平均滞后算子。该模型考虑了过程的长记忆性和短记忆性，其中p+q个参数描述过程的短记忆性，用参数d描述过程的长记忆性，因此ARFIMA模型优于普通的ARMA模型族，又优于单独考虑长记忆性的分形差分模型。

1.3 GARCH模型族

1.3.1 GARCH模型公式

其中Ωt-1表示截止t-1时刻所有已知信息的集合，的大小反映了序列波动持续性的强弱。GARCH模型中只考虑了ut=ut|Ωt-1波动的大小而没有考虑波动的方向，实际情况中坏消息的冲击会大于好消息的影响。

尽管GARCH模型能够很好的解释金融资产收益率序列的波动聚集性特征，但是它不能解释金融时间序列进场存在“杠杆效应”，即资产价格的下跌（坏消息）比同样程度的价格上涨（好消息）产生的波动更大。因此，本文建立ARFIMA-TGARCH与ARFIMA-EGARCH来解释这种不对称性。

1.3.2 TGARCH（1，1）模型公式

可以看出，好消息的冲击影响为α1u2t-1，坏消息的冲击影响为（α1+γ）u2t-1。若γ=0，则表示不存在非对称效应；若γ>0，则表示存在非对称效應。

1.3.3 EGARCH（1，1）模型公式

由于该公式是对In（σ2τ）建模，则不需要认为假定模型参数非负数约束限制。同时，若γ=0，则表示不存在非对称效应；若γ<0，则表示存在非对称效应。

2、实证研究

2.1 数据选取

本次研究使用上海黄金交易所AU9995 2004/09/01到2017/04/25的价格日线，共3038个样本数据。在此基础上，将数据分为两部分：2004/09/01到2017/02/28为第一部分，记为{Xt}，用于构造模型，确定参数；2017/03/01到2017/04/25为第二部分，用于对基于第一部分数据所构造的模型进行预测检验。这样就给数据划分为3000+38两部分。

2.2 长记忆性检验

首先对本次黄金价格序列{Xt}进行ADF检验，结果显示为非平稳，则对其对数一阶差分序列，再进行ADF检验，结果如下图：

可以看出对数差分后的序列为平稳的。对此序列进行R/S分析法进行分析，得到结果如下图：

其中曲线为logn-logRS，随着n增大向右上方延伸；直线为logRS=c+H*logn，（斜率即Hurst指数）。从图中来看，曲线约在logn≈5.0的时候出现了拐点，说明周期大约为exp（5.0）=148日。

而从logn-V图来看，该图呈上升趋势，说明有明显的长记忆性，当logn≈4.9的时候，图中曲线逐渐平稳，但波动增大，表明长记忆性逐渐消失。

2.3 建立ARFIMA模型

将已得到的Hurst指数作d=H-0.5计算后将对数差分序列进行d阶差分，才可以建立ARFIMA模型进行预测。本文基于杨楠[10]设计的分数差分迭代算法，对本次序列进行分数差分。对分数差分后的数据建立ARMA模型，对序列的相关图初步判断模型阶数后，再进一步利用AIC准则来确定最合适的模型。AIC值越小，说明模型越契合。所以我们选择ARMA（3，3）来作为本次实验模型。

2.4 ARCH-LM检验

在我们使用ARCH模型之前，需要判断残差序列是否具有ARCH效应。在1982年，Engel已经提出了检验残差序列是否存在ARCH效应的ARCH-LM检验。检验的原假设为：残差序列直到q阶都不存在ARCH效应。通过对回归方程的残差图进行观察发现，其表现出明显的波动聚集性。如图4，在2005年至2006年时间段，残差的波动很大，然而在2006年至2007年时间段却表现出较小的波动 。此模型的残差存在显著的条件异方差性，可能存在ARCH效应。

对均值方程的残差进行条件异方差的ARCH-LM检验，滞后阶数p=10，其检验结果如图5所示。结果显示，F统计量=21.15740，其概率值p非常小，从而表明检验辅助回归方程中的所有滞后残差平方项是联合显著的。Obs*R-squared=198.2568，相应的概率值p非常小，因此拒绝原假设，说明残差序列存在ARCH效应。

2.5 ARFIMA-GARCH族模型预测

由于ARCH模型结束较高，因此本次实验里面我们考虑结合GARCH（1，1）、TGARCH（1，1）、EGARCH（1，1）模型来进行分析。

均值方程：（1+0.7932L1+0.9834L2-0.7814L3）Xt=-8.98E-05+（1-0.1899L1-0.9771L2+0.2074L3）Et

分别对均值方程建立GARCH模型，分別得到ARFIMA-GARCH模型、ARFIMA-TGARCH模型、ARFIMA-EGARCH模型。从图6三种GARCH模型的比较来看，三种模型的预测值几乎重合，具有相同的波动趋势。从图7来看，基于三种方法相对误差绝对值的比较，发现ARFIMA-TGARCH模型的相对误差绝对值最接近0，说明ARFIMA-TGARCH模型的拟合效果最佳。

通过对表2结果的观察，利用ARFIMA-TGARCH模型对2017/03/01到2017/04/25的黄金价格预测所得到的结果与实际价格的误差非常小，这对决策者及投资者有很好的借鉴作用。

3、结语

本次研究中，我们采用了基于分形分析的R/S方法，证实了上海黄金交易所AU9995价格收益率序列存在明显的长记忆性，随后结合ARFIMA、ARFIMA-GARCH模型族定量的对黄金价格收益率序列进行分析，所得到的预测模型ARFIMA-TGARCH模型能够很好的刻画黄金价格内在波动规律，并能对其进行良好的预测（最高误差1.501%）。实验表明，从长记忆性的角度来解释黄金价格的内在特征是可行的，同时对于投资者和生产者来说，利用此模型来预测黄金市场行情是非常切实有效的，对其决策意见会有很大的帮助。

参考文献

[1] Hurst H E. Long — term storage capacity of reservoirs[J]. Transactions of the American Society of Civil Engineers，1951，116：700 -779.

[2] MandelbrotBB.et al. Fractional Brownian Motions， Fractional Noises and Applications[J]. SIAM Review，1968，10（4）：422-437.

[3] Edgar E. Peters. Fractal Market Analysis： Applying Chaos Theory to Investment and Economics[R]. Inc New York，1994.

[4] Hosking J R M. Fractional differencing[J]. Biometrika，1981，68：165-176.

[5] Engle R F. Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of the United Kingdom Inflation[J]. Econometrics，1982，50：987-1008.

[6] Bollerslev T. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity[J]. Journal of Econometrics 1986， 31：307-327.

[7] 罗祯.基于ARIMA-GARCH模型的黄金价格走势研究[J].财政金融，2013，6：31-32.

[8] 楼晓东，张良.基于分形理论的国际金价波动长记忆性识别及预测研究[J].金融市场，2013，6：80-84.

[9] 潘贵豪，胡乃联等.基于ARMA-GARCH模型的黄金价格实证分析[J].黄金，2010，1：5-8.

[10] 杨楠，柳预才.基于分形分析的国际金价波动长记忆性识别与预测研究[J].数理统计与管理，2013，5：931-940.

作者单位：上海理工大学管理学院