基于龙格—库塔的非线性电容电路数值解法

摘 要：对于含有非线性电容元件的动态电路运用基尔霍夫定律列出是一组非线微分方程。该微分方程的解析一般不容易获得。但可以借助计算机运用迭代的思想将求解析解问题转化成求数值解的问题。本文以非线性电容的动态电路为研究对象，重点研究了将二阶龙格-库塔法应用于非线动态电路的求解过程。通过研究发现应用二阶显式龙格-库塔法来求非线性电容动态电路的数值解是完全可行的。

关键词：非线性动态电路； 二阶龙格-库塔；数值解法

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.12.161

0 引言

对于非线性动态电路，运用基尔霍夫定律会得到一个非线性微分方程，其解析解y（x）一般不易获得。当解析解y（x）不易求出时，就应该将连续问题离散化处理。

针对欧拉法的这种不足，本文应用二阶龙格-库塔方法求解非线性电容动态电路。二阶显式龙格-库塔法较之欧拉法有较强的精确性及收敛性。

1 二阶显式龙格-库塔法

对于形如的微分方程，如果不易求其解析解，可以将微分方程的连续问题离散化，即在求解区间上取一系列离散点，其中，h为步长。离散化有三种方法：（1）差商逼近法即用差商值逼近导数值；（2）数值积分法即将微分方程转化为积分方程进行数值积分离散化；（3）泰勒展开法进本思想是首先构造一个关于真解及其有关信息的含参算子，将算子中诸项在某点处按泰勒展开式展开。从而获得一个关于数值解的差分方程。龙格-库塔法是基于第三种方法。常用的二阶龙格-库塔格式。

2 应用龙格-库塔法求解非线性电容电路的步骤

应用龙格-库塔法可以将求其解析解问题轉化为求微分方程数值解问题。求解的思路分为两步。第一步：根据非线性电容电路的特点，运用基尔霍夫定律列写非线性微分方程。第二步：应用龙格-库塔法求解该非线性微分方程的数值解。

3 示例

下面运用一个实例具体阐述运用龙格-库塔法求非线性电容电路的数值解的过程。电路如下图1所示：已知电流源IS=1A，电阻R0=1Ω，其中非线性电容的库伏特性为，u为电容两端电压，当t=0时刻有，流过R0的电流为i0，流过非线性电容的电流为ic。以q为电路变量写出微分方程。

4 结论

本文重点研究了将龙格-库塔法应用于求解非线性电容电路，示例证明应用该方法求非线性电路微分方程的数值解不但是完全可行的，而且还具有较高的代数精度。

参考文献：

[1]李庆扬，王能超等.数值分析[M].北京：清华大学出版社，2008（12）.

作者简介：付裕（1987-），陕西西安人，助教，研究方向：数据挖掘、电气自动化。