数学核心素养视野下的课堂教学案例研究

江苏省泰州市第二中学附属初中(225300) 曹文喜

数学核心素养是具有数学特征、适应个人终身发展所需要的必备品格与关键能力,是数学课程目标的集中体现.数学核心素养是在数学学习过程中形成的,具有综合性、整体性和持久性,可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力,高中阶段的数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析共六个方面.具体在初中阶段马云鹏先生认为就是《义务教育数学课程标准(2011年版》明确提出的十个核心素养,即数感、符号意识、空间概念、几何直观、数据分析、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识.仔细对比发现,初中阶段的十大核心素养较为具体和直观,高中阶段的六大核心素养更具概括性,比如“数感”“符号意识”应当属于“数学抽象”的范畴,“空间概念”“几何直观”则包含在“几何直观”中,数学核心素养反映数学本质与数学思想.本文以我校七年级、八年级和九年级的三节优质课为例,谈谈课堂教学中如何培养学生的数学核心素养.

一、通过问题情境,培养学生的数感和符号意识

数感是一种数学素养,它主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟.建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义,理解或表达具体情景中的数量关系.符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行运算和推理,得到的结论具有一般性,建立符号意识有助于学生理解符号的使用是表达和进行数学思考的重要形式.

有些人能很敏锐地从问题情境中发现,并抽象出数学问题,然后利用符号组建数学模型,把要解决的问题清晰简明地表现出来,用来与人们交流和作进一步的深入研究,这就是具有良好数感和符号意识的表现.

通过问题情境,帮助学生学会发现、学会抽象 ,能培养学生敏锐的数感和符号意识.

案例1在“同底数幂的乘法”的教学中,可以设计计算地球与太阳之间的距离引入同底数幂的乘法运算,引导学生在探索这个问题的过程中,体会研究同底数幂的乘法的必要性,培养学生的数感和符号意识.

问题情境:太阳光照射到地球表面所需的时间约为5×102s,光的速度约是3×108m/s,地球和太阳之间的距离约是多少?

生1:地球和太阳之间的距离约是(3×108)×(5×102)=(3×5)×(108×102).

师:(3×5)×(108×102)=15×(108×102)=?

师:10个10相乘可以表示为?

生3:1010.

师:事实上,那么108×102=108+2=1010,那么10m×10n=?.

师:am·an=?

生5:我的感觉应当是am+n.

生6:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.

评析以上案例是通过问题情境来激发学生的学习兴趣和好奇心,让学生逐步由具体到抽象的探索同底数幂的乘法运算性质:幂的底数和指数都是具体的数、幂的底数是具体的数,指数是用字母表示的数、幂的底数和指数都是用字母表示的数.实质是让学生感受从特殊到一般、从具体到抽象的问题的思考方法,培养学生的数感和符号意识,发展学生的合情推理与演绎推理的能力.

二、实施类比教学,提高学生的逻辑推理能力

类比就是由两个对象某些相同或相似的性质,推断它们在其它性质上也有可能相同或相似的一种推理形式.从本质上说,类比是逻辑推理的一种基本形式,而逻辑推理是数学核心素养的重要组成部分,实施类比教学是提高学生数学核心素养的有效途径.

案例2师:从左到右的依据是什么?

众生:依据是分数的基本性质即分数的分子、分母都乘以或除以同一个不为零的数,分数的值不变.

生1:相等,因为可以把分式的分子和分母同时除以4(x+y).

师:上一节课,我们刚刚讲了分式的概念,请大家回顾一下,什么时候分式才有意义?

生2:我认为要分情况讨论,当(x+y)不等于零时,分式与相等;而(x+y)等于零时,分式无意义,无意义就是不存在,怎么可能是相等呢?(掌声鼓励)

师:当(x+y)不等于零时,从与相等,你有什么发现?大家交流一下.

生3:老师,我是模仿分数的性质的,分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为零的整式,分式的值不变.

师:说得很好,生3同学通过类比分数的基本性质得到了分式的基本性质,由于字母可以表示任何数,所以我们说分式的基本性质是分数的基本性质的一般化.下面哪位同学能用数学式子表示分式的基本性质吗?(在此让学生经历运用符号表示结论)

······

师:上一节我们学习了分式的概念,本节课我们学习了分式的基本性质以及我们还将学习哪些内容,类比分数的学习,我们归纳如下:

评析本课中加强分数和分式的类比教学,在通过观察、类比获得的结论中,养学生的合情推理和逻辑推理的能力,同时进一步培养学生的符号意识;渗透数学思想,理解认识事物的过程是由特殊(具体)到一般(抽象),又由一般(抽象)到特殊(具体),在不断重复中得到提高,通过数与式之间的联系,体现数学知识间具体与抽象的内在联系和内在的统一性.

三、在问题探究中强化学生的模型思想

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果、并讨论结果的意义.在“问题解决”的过程中,教师应该引导学生独立思考、主动探索、合作交流,获得分析问题和解决问题的一些基本方法,体验解决问题方法的多样性,发展创新意识.

案例3(1)细节一

师:在一块长32米,宽24米的矩形绿地内,要围出一个花圃,使花圃面积为矩形面积的一半,你能给出设计方案吗?

图1

众生:能!方法太多了.

生1:我的设计方案如图所示,在绿地中间开辟一个矩形的花圃,使四周的绿地等宽,绿地的面积与花圃的面积相等

图2

生2:我的设计方案如图所示,其中花圃是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.

细节二

师:大家一起来想一想怎样求出绿地的宽?

生3:我们利用方程的思想,设绿地的宽是x米,则花圃的长为 (32−2x)米,宽为 (24−2x)米,所以解这个方程x1=4,x2=24,所以绿地的宽度为4米或24米.

众生立即回答:老师他错了,应当舍去24米,因为原来的宽只有24米啊.

师:对,应当舍去24米,我们要养成一个好的习惯,当我们解出结果是两个答案后,要注意检验得出的结果是否符合实际情况.下面我们请一位同学帮生2求出小路的宽?

生4:我是利用平移的方法,将两条垂直的矩形向两边平移,可得如图所示的图形.根据方程的思想,设小路的宽是x米,可得到:=48(舍去),所以小路的宽是4米.

生5:老师我是这样理解的,我的方法和生4一样,既然花圃的面积是原矩形面积的一半,也就是说平移后的绿地的面积也是原矩形面积的一半,所以可列方程:

师:很好,两位同学都善于思考,通过平移后便于建模,这样很快使问题解决了!如果一个矩形的两边长分别为a和b,在矩形的内部是否存在一个矩形,此矩形的各边到已知矩形各边的距离相等,并且此矩形的面积等于已知矩形面积的一半?

生6:能,这个问题很简单,就是模仿前面的方法,列出方程:

师:生6反应很敏捷,只是解这个方程的时候,我们要注意这个方程是否一定有解?下面我们请大家来讨论一下如何证明这个方程有解?

师:生7的证明方法很好,要证明一个一元二次方程是否有解,就是将它化成一般形式,然后看方程的判别式是否大于等于零,当然解答这种实际问题时要注意x的值不能为负值且下面我们再回到生2的设计方案上来,生2设计方案如图所示,其中花圃是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.抽象为数学问题就是如果一个矩形ABCD的两边AB的长为a,BC的长为b,四边形MNPQ和四边形EFGH都为矩形且MN=EH,图中阴影部分的面积等于已知矩形面积的一半,求小矩形MNPQ的宽MN的长.

生8:这个问题就是建模化归为方程:(a−x)(b−整理得,因为又因为a＞0,b＞0,所以a2+b2＞0,所以方程一定有解.可以求出方程的解为:其中所以必须要舍去.所以MN的长为

图3

师:(投影生8所做的纸片)生8的做法非常之妙,也从理论上证明了通过解一元二次方程所得的两个解,为什么其中一个要舍去的原因.大家对生10给以热烈的掌声,哗哗……课堂气氛活跃起来了

评析创设良好的问题情境可以激活学生的求知欲,促使学生为问题的解决形成一个合适的思维意向,从而收到最佳的教学效益.教材中设计的情境及提出的问题把数学与现实生活紧密结合,学生很感兴趣.让学生自己动手动脑,设计出漂亮、美观的花圃,学生的积极性被充分调动起来了.有的在沉思,有的在讨论,课堂气氛非常活跃.教师投影出学生1、学生2的设计以及生7、生8的解题过程,学生们议论纷纷,大大激发了学生的创新思维和审美清趣.

四、回顾与反思

数学教学的过程就是发展学生的思维,培养学生核心素养的过程.这三节课共同的特点是注重培养学生以数学的意识为指导,体现了“由特殊到一般,由具体到抽象”的转化思想.值得反思的是七年级、八年级的两节课留给学生的思维空间不够,数学是思维的体操,思维是数学的灵魂.没有思维,数学就失去了生命与活力.以思维为基础,能力提升才能得到有效的落实.心理学的研究表明,学生获得数学知识的过程往往是这个知识点的心理表征的构建过程.在教学过程中我们要注重学生自主探究、合作交流、师生互动、在观察、类比、猜想、问题转化等数学活动中充分体验探索的快乐,培养学生的数感、符号意识、合情推理能力、模型思想、实践能力与创新精神,从而提高学生的核心数学素养.