对含有期权因素下的经济模型分析①

(安徽建筑大学数理学院,安徽 合肥 230022)

0 引 言

期权定价问题是金融工程学的核心问题之一.1973年，美国著名的金融数学家Black和Scholes发表了关于期权定价的开创性论文.文中以有效市场和股票价格满足几何布朗运动等为假设条件，利用无套利原理和伊藤公式推出了著名的Black-Scholes模型.该模型是期权定价发展史上的里程碑，它为期权乃至其他为定价权益的定价打下了坚实的基础，使得原本空洞的期权定价在理论上有了依据.然而，Black-Scholes模型基于理性人假设和期望效用理论，是一种相对理想的状况，在现实市场中，它的假设往往不符合投资者的实际.正是由于这样的疑问，试图通过改变原有模型中的某些假设，使模型更为合理。

1 Black-Scholes期权定价方法

1.1 模型的假设

Black-Scholes的期权定价理论假设条件如下：

(1)不存在无风险套利的机会；(2)没有交易费用或税收；

(3)所有证券都是高度可分的；(4)证券交易是连续的；

(5)在衍生证券的有效期内没有红利支付；(6)在整个时间范围内无风险利率是已知常数r；

(7)没有卖空的限制，允许完全使用卖空所得资金；(8)仅考虑欧式期权，即到期才能执行合约.

1.2 模型构建与求解

假设在时刻t的资产价格s的变化遵循几何布朗(Brown)运动

(1)

记f为期权价格，它依赖于股票价格s和时间t.由伊藤引理得

(2)

(3)

(4)

将(1)、(2)式代入(4)式得到:

(5)

由于(5)式中不含有随机项dz，因此该组合不含有风险，所以根据假设，可得到

dπ=rπdt

(6)

根据无风险套利原理得到等式：

(7)

即

(8)

(8)式就是Black-Scholes方程.它是一个抛物型偏微分方程.此方程的边界条件为：

当t=T时，C=max(S-X,0)

(9)

通过自变量变换和函数变换，可以将方程(8)和方程(9)转化为热传导方程的初值问题，由此可得欧式买入期权的定价公式为

C(s,t)=SΦ(d1)-Xe-rTΦ(d2)

类似地，可以求得欧式卖出期权的定价公式：

P(s,t)=Xe-rTΦ(-d2)-SΦ(-d1)

2 改进模型建立

2.1 模型假设的修正

(1)在期权有效期内，支付的红利率可以确切预测

(2)在除权日当天股票价格会下降，下降幅度为每一股股票支付红利的数量(红利即为在除权日当天由支付红利引起的股票价格减少的量).

(3)把除权日当天所支付的红利平均分配到每一天，即认为红利是连续支付的.

(4)交易费用可看成投资者在买卖股票时所产生的直接费用，并且将其以交易额的固定比例表示出来.

2.2 红利支付

假设q是红利率，则股票的持有者在dt时段内的红利收益为qSdt.因此，股票价格遵循的几何布朗运动方程可修改为：

dS=(μ-q)Sdt+σSdz

S是随机的微分过程，令f=(S,t)，代入伊藤引理，在一个Δt(不连续)时间内，f的变化值：

接着构造一个投资组合(全微分形式)

在一个Δt(不连续)时间内，φ的变化值：

2.3 交易费用与模型求解

前面已经对相关方程进行了离散型的构造，这里直接引用.

(1)离散的股价变化过程：

(2)离散的衍生证券变化过程：

(3)离散的投资组合变化过程：

(4)标准布朗运动表示为：

将相关式子代入到投资组合中，并且将交易费用以交易额的固定比例H来表示，即交易了Y股价格为S的股票(当Y>0时为买入，Y<0时为卖出)的费用为H|Y|S，得到离散的投资组合表达式：

经历Δt时间后(Δt→0不成立)

则可以得到Y的初始表达式利用Talor公式，舍去高阶项，最终可得到：

运用无风险套利原理：

得到有交易成本和支付红利的期权定价方程：

3 模型分析

将此方程分解为两个部分：

C(s,t)=(S-qS+H|Y|S)Φ(d1)-Xe-rTΦ(d2)

类似地，可以求得欧式卖出期权的定价公式：

P(s,t)=Xe-rTΦ(-d2)-

(S-qS+H|Y|S)Φ(-d1)

可以清楚地看到，改进后的定价公式中S、d1、d2有所改动，但是对整个期权定价模型来说已经是一个突破。

4 结 语

在Black-Scholes期权定价模型的的基础上，通过改变其假设条件，套用Black-Scholes期权定价模型的导出和求解过程，得出了在考虑支付红利和交易费用的因素下的期权定价模型.

虽然改进了原有模型的假设，加入了红利支付和交易费用，使得原有模型更具有一般性，但是对于期权这一复杂的金融衍生品来说，还有许多期权自身的影响因素，其中包括股票当前的市场价格、国际国内的经济形式、多种不可预知的金融风险等，都将成为致力于研究期权市场的人们的未来研究方向.

自从期权交易产生以来，尤其是标准期权交易产生以来，学者们就一直致力于期权定价问题的探讨.期权定价模型更是经过了几代人的努力最终形成了较为成熟的模型，其中最为突出的就是Black-Scholes期权定价模型，它不仅对后来的先关理论研究和投资实务操作都有巨大影响，而且对于现代经济理论和财务理论的发展也有深远影响.