压缩传感的综述

王菊　赵燕　王昊

摘要：传统采样中，采样频率需高于信号最高频率的2倍，依照该定理会需要海量的采样信号，给存储和传输带来了很大的麻烦。近年，压缩感知理论在数据采集方面带来了历史的飞跃。压缩传感主要依靠非自适应的线性投影的方法来维护信号的原结构，选用数值的最优化问题来重构原信号。因压缩传感在采样方面低于奈奎斯特频率，在许多领域有广阔的前景。

关键词：压缩传感；信号重构；稀疏表示；图像重构；约束等距性

中图分类号：TN911.7 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2018）15-0251-02

A Survey on Compressive Sensing

WANG Ju，ZHAO Yan，WANG Hao

（Yanching Institute of Technology， Langfang 065201， China ）

Abstract：In the traditional sampling， the sampling frequency needs to be higher than two times the maximum frequency of the signal. According to the theorem， a large amount of sampling signals will be needed， which brings a lot of trouble to storage and transmission. In recent years， the theory of compressed sensing has brought a historic leap in data collection. Compressive sensing mainly relies on non-adaptive linear projection methods to maintain the original structure of the signal， and selects the numerical optimization problem to reconstruct the original signal. Since the compressive sensing is lower than the Nyquist frequency in sampling， it has broad prospects in many fields.

Key words：compressive sensing；signal reconstruction；sparse representation；image reconstruction；restricted isometry property

1 引言

压缩感知[1]与传统的压缩系统是不同的。图1表示[x]模拟信号经采样后，能得到[N]的信号，随后经压缩到[K]大小的信号，进行解压缩，最后把原来的信号恢复。

图2表示CS系统充分采用信号的稀疏特性[2]，以便减小成本，降低复杂度，使重构时间缩短。采样直接结合压缩[3]，选择随机投影方法得到相应的观测值，随后经传输把有用的信号让其在接收端被采集，最后利用求解其解码的模型得出原信号。所以，压缩传感重要的过程在于稀疏表示[4]、随机投影[5]以及重构过程[6]。

2 稀疏表示

稀疏表示[7]经历了以下几个部分，从傅立叶到小波变换，随后几何分析。小波变换因时频特性较好，使其成为一种有效的方法。因人眼对方向较敏感，但小波无该特性，引入了轮廓波，在一定范围上回避了小波的方向性，也可给稀疏表示提供一个理论依据。

当信号进行变换的时候，如果可用少量的非零元素表示，或者该信号可用少量的较大的数表示，并且大部分幅值变为零，那么这个信号就具有稀疏性[8]。

[x]為信号，表示向量是[N]维的，假设[x]可用基矩阵向量线性表示，其中基矩阵用[Ψ∈RMM>>N]表示，基向量用[ψiKi=1]表示，变换系数用[α]表示且[α=ψTx]，那么

[x=i=1Kαiψi=Ψα]

在实际中，严格意义上的稀疏是很难达到的，例如图像信号，只能近似的认为是稀疏的。如果信号能用[K]个系数线性表示，就可叫这样的信号具有稀疏性。假设[x]信号，它的元素用降序进行排列后，信号可表示为

[x≈x=i=1Kαiψi=Ψα]

向量的范数[lp]用[xP] 表示，则逼近误差为

[σkxp=argminx∈Rkx-xp=x-xp]

信号运用某种变换可稀疏表示，该特点可用与图像压缩、分割及修复等方面。

3 随机投影

用[Φ]表示随机投影矩阵，则根据方程[y=Φx]得出观测值，根据要求观测值需要有准确的重构信息，并且可依据非适应的观测算法，以此达到重构。对于是何种矩阵的形式，都要能恢复出来原信号，这就需要矩阵有一定的原则，也就是满足限制等距性以及不相干性。

3.1 限制等距性

根据CS的理论，[Φ]表示随机投影矩阵且[M×N]，则[y=Φx]可得[MM

矩阵[Φ]，稀疏的向量[x]，常数[0<δk<1]，则根据限制等距性，则有：

[1-δkx22≤Φx22≤1+δkx22]

在这里[δk]表示限制等距常数。

还可用下面表示：

[1-δ2kx1-x222≤Φx1-Φx222≤1+δ2kx1-x222]

一般情况下此式应用于二阶的或者更高阶的，只要符合要求，此矩阵就能实现恢复原图或者信号，下面有两个类型的矩阵满足要求。

如贝努利投影矩阵，矩阵[Φ]元素对称，那么

[G∈RM×N；Gi，j=1Mgij，gij～1-11212]

如高斯投影矩阵，那么

[H∈RM×N；Hi，j=1Mhij，hij～N0，1]

依据实验结果可知，当上述两种矩阵符合一些要求时尽管有好的重构水平，但在面对的复杂图像的时候，计算量庞大，结合矩阵的特点，例如稠密性，又有很大的计算量，从而重建速度很慢，此种算法不切实际。

如果面对一维的稀疏信号，通常选择高斯投影矩阵；如果面对二维图像，一般选用快速变换之后得到观测值，一般选择用置乱的离散余弦变换。对图像进行随机置乱之后，选择部分的有效信息来进行变换从而实现随机采样，此种方法和高斯随机投影的效果相似。

3.2 不相干性

[Φ]随机投影矩阵中，每一列与[Ψ]表示的基函数之间不相干，或者是不能相互表示，则是不相干的。

[Φ，Ψ]表示一对正交基，[Φ，Ψ∈RN]，其中[φkl2=ψjl2=1]，相干性为：

[μΦ，Ψ=N?max1≤k，j≤Nφk，ψj]

相干性就是寻求[Φ]与[Ψ]的相关性。如果[Φ]和[Ψ]之间存在相关元素，它们就可能存在相干性。假设[ΦTΨ]正交，那么

[jφk，ψj2=1 ? maxjφk，ψj≥1N ? μ≥1]

满足

[φk，ψj2≤φk2?ψj2 ? μ≤N ? μ∈1，N]

对[μ]均一化处理，则取值范围

[1-μN∈0，1-1N]

假设[Φ]与[Ψ]非相干性很强，符合限制等距性的程度就越高，在这里[Φ]表示测量矩阵，行数用[M]表示，[C]表示大于零的常数，可得

[M≥C?μ2Φ，Ψ?K?logN]

为了更好地重构信号，[P]表示逼近概率，则

[p≥1-212δKKe-c0δ2M]

倘若[M≥C?μ2Φ，Ψ?K?logNδK]，可得出[p≥1-δK]，如何选择符合限制等距性的问题，就变成了怎样使投影矩阵和基函数不相关的问题。

4 重构

压缩传感中重要的是重构，用随机投影所采集到的值用来复原图像。怎样才能恢复原图成为需要解决的问题，重建也就是求最佳的稀疏解，则

图3表示原图像，经过迭代100次，从图中可得到，采用全变差的方法重构，此效果较好，接近原图。

5 结论

压缩传感理论的出现开拓了人们的视野，对信号处理、图像重构方面提供的很大的理论支撑。在压缩成像、核磁共振、生物感知方面也有很重要的应用，研究前景广阔。

参考文献：

[1] Donoho D L. Compressed Sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2006， 52（4）： 1289-1306.

[2] 王学伟，崔广伟，王琳，等.基于平衡Gold序列的压缩感知测量矩阵的构造[J].仪器仪表学报，2014，35（1）：97-102.

[3] 陈善雄，何中市，熊海灵，等.一种基于压缩感知的无线传感信号重构算法[J].计算机学报，2015，38（3）：614-624.

[4] 谭延峥，李舜酩，江星星.复杂曲线图像的数据提取方法[J].电子测量技术，2016，39（12）：159-163.

[5] 王菊， 王朝晖， 刘银. 基于PSO和LM的信号稀疏分解快速算法[J]. 激光與红外， 2012， 34（2）： 227-230.

[6] 朱瑞波.光无线传输下静态展品图像信息隐藏方法仿真[J].计算机仿真，2017 34（6）：187-190

[7] 王慧.基于CS水文无线传感器网络视频数据获取方法研究[J].电脑知识与技术，2015，11（29）：198-199

[8] 练秋生，郝鹏鹏.基于压缩传感和代数重建法的CT图像重[J].光学技术，2009， 35（3）：422-425.