高等数学中关于隐函数求导方法的教学探讨

薛瑞　智珊珊

【摘要】隐函数求导是高等数学教学中的重点、难点问题，本文对隐函数的求导问题的几种常用方法进行總结，归纳这些方法的适用范围、特点和优缺点，并通过具体例题进行验证。

【关键词】隐函数 求导 导数

【中图分类号】G642 O13-4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）05-0033-01

引言

隐函数求导问题是高等数学中一个非常重要的内容，是高等数学学习必不可少的基础，同时也是一个困扰很多初学者的难点问题。最常见的求导方法是直接利用公式求导法，即将隐函数的求导问题归结为多元函数的求偏导问题，该方法直接利用公式，较为简单，但是对于初学者来说难以对其有较为直观的理解，更难以把握因变量和自变量的处理上的区别对待，从而难以求出正确结果。

鉴于此，笔者对隐函数求导问题的常见方法进行总结，并对这些方法的适用范围、特点及优缺点进行了归纳，并通过实例加以验证。

一、隐函数的定义

教材中对隐函数有以下定义：一般地，如果方程中，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足这个方程的唯一的y值存在，那么就说方程在该区间内确定了一个隐函数。

二、隐函数求导的方法

1.显化法

显化法求导法适用于初等函数或能化成显函数的隐函数。

例1 求由方程确定的隐函数的导数。

解：方程给出的虽为隐函数的形式，但是能够将其直接化为显函数，再对该显函数进行求导，易得。

但是，有时隐函数的显化是有困难的，甚至是不可能的，就需要寻求其他方法。

2.直接法

对于不易或者不能显化的隐函数，可将方程中的y看做关于x的函数，将隐函数看做复合函数进行求导运算。

例2 求由方程确定的隐函数的导数。

解：将方程两端同时对x进行求导，注意y是x的函数。可得，从而求得，。

该方法直截了当，具有较好的适用性，但是要求学生熟练掌握复合函数的求导法等一些基本导数知识。

3.取对数求导法

对于形如的幂指函数来说，没有求导公式，可以通过方程两端取对数化幂指函数为隐函数，从而求出导数。

例3 求方程的导数。

解：方程两边同时取对数得，

上式两边同时对x求导，得，

于是，。

4.公式法

首先将隐函数的方程整理成的形式，再对两边同时对x、y求导数，然后再利用公式来求隐函数的导数。

例4 求由方程确定的隐函数的导数。

解：令，

上式两边同时对x求导，可得，

上式两边同时对y求导，可得，

由公式得：

该方法可直接套用公式，但在利用该公式求导时，需要注意在对变量x求导时，将y看做常数，在对变量y求导时，需将x看做常数，这对初学者来说很容易混淆。

5.微商法

首先对方程两端同时求微分，然后利用函数微分和导数之间的关系，即，求出隐函数的导数。仍以例4为例，

可得，，故。

在使用该方法求微分的过程中，需将x、y看做独立变量，容易出错 而且该方法的计算过程与其他方法相比稍微复杂。

三、结语

本文对隐函数求导方法进行介绍，并对各种方法的优缺点进行了比较，在处理具体问题时，可根据题目的设置情况选择其中的一种或几种方法进行处理。为以后解决隐函数求导问题提供了一定的依据，降低思维强度，减少不必要的运算。