这样建立线性规划模型

张宏翀 马亮 马青杰

线性规划问題的应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.近几年线性规划的建模在高考中经常出现.

例题（2016年高考新课标全国卷一文科卷第16题）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料l kg，用5个T时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为____元.

分析 此问题属于产品安排问题，线性规划问题中的条件一般会比较多，因此考生要认真审题.判断线性约束条件中有无等号，要依据条件加以确定.结合实际，判断未知数x，y是否有限制，如x，y为正整数、非负数等.分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式（组），而目标函数是一个等式.图形对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是通过数形结合完成的.所以，考生作图应尽可能准确，操作尽可能规范.但作图必然会有误差，若图上的最优解并不明显分辨时，需将几个有可能最优的解的坐标都求出来，逐一检验，以确定最优解.

解设生产产品A、产品B分别为x件、y件，利润之和为z元，则z=2 lOOx+900y，线性约束条件为

解后反思 解答线性规划应用题一般分三步：①模型建立，即正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型；②模型求解，即画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点求出最优解；③模型应用，即将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案.

变式1 甲、乙两个粮库要向A，B两镇运送大米，已知甲库可调出100 t大米，乙库可调出80 t大米，A镇需70 t大米，B镇需110 t大米，两库到两镇的路程和运费如下表：

（Ⅰ）这两个粮库各运往A、B两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费为多少？

（Ⅱ）最不合理的调运方案是什么？它造成的损失是多少？

分析此题属于物料调运问题，已知两库的大米存量，以及离A、B两镇的路程及运输价格，为了节约费用，需要权衡，制订调运方案.这是个线性规划问题，需建立线性规划模型，首先要找到可行域和目标函数，再利用线性规划问题的解题方法解决.

解 设甲粮库要向A镇运送xt大米，向B镇运送yt大米，则乙粮库要向A镇运送70-xt大米，向B镇运送110-yt大米.设总运费为z元，则目标函数z=12·20x+25·10y+15·12（70-x）+20·8（110-y）=60x+90y+30 200.线性约束条件为可知函数z=60x+90y+30 200在点M（70，30）处取得最小值，此时zmin=37100；在点N（0，100）处取得最大值，此时zmax=39200.所以zmax-zmin=2100.

故（Ⅰ）甲粮库向A镇运送大米70t，向B镇运送大米30t；乙粮库向A镇运送大米0t，向B镇运送大米80t.此时总运费最省，为37 00元.（Ⅱ）最不合理的调运方案是甲粮库向A镇运送大米0t，向B镇运送大米100t；乙粮库向A镇运送大米70t，向B镇运送大米10t.此时总运费最贵，为39200元，造成损失2 100元.

解后反思 资源数量一定，如何安排使用它们，使得效益最好，这是线性规划中常见的问题之一.这类线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解问题.无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：先要寻找线性约束条件和线性目标函数，再由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域，然后在可行域内求目标函数的最优解.

变式2某工厂计划生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个和55个，所用原料为A，B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2与3m2.用A种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个：用B种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个.问：A，B两种规格的金属板各取多少张才能完成计划，并使总的用料面积最省？

分析 此题属于生活中用料最省问题，要根据题意找线性约束条件及目标函数，利用数形结合方法去处理.

解 设A，B两种金属板各取x张，y张，用料面积为zm2，则目标函数为z=2x+3y，约束条件-2/3x+z/3.当直线y=-2/3x+z/3过可行域上的点M（5，5）时，纵截距取得最小值，即z最小.于是可得zmin=2×5+3×5=25.

所以，两种金属板各取5张时，用料面积最省.

解后反思 线性规划类问题建模的关键，是认真分析题意，找到约束条件和目标函数，然后正确画出不等式组所表示的平面区域，再确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值.解题时，考生要看清楚是求最大值还是求最小值，否则很容易出现错误：画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误.