高中学生数学归纳法学习中常见错误及对策

徐晓功

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2018）19-0124-01

在高中数学的学习中，数学归纳法是一种比较常用的数学方法，在解决某些结论是自然数的函数命题时，运用数学归纳法对问题加以证明能够起到事半功倍的效果。但是在长期对学生进行教学的过程中发现，很多学生在利用数学归纳法解决数学问题时，经常会出现一些比较常见的错误，对学生数学的学习造成了一定的障碍，本文主要对学生运用数学归纳法的常见错误进行了研究，并提出了一些解决策略。

1.高中生学习数学归纳法中的常见错误

1.1机械套用，不认真验算。

例1：证明等式2+4+6+…+2n=n2+n+1（n∈N+）是否成立。

错误解法：（1）当n=1时，等式两边都等于2，此时等式成立。

（2）当n=k时，2+4+6+…+2k=k2+k+1，等式两边同时加上2（k+1）

2+4+…+2k+2（k+1）= k2+k+1+2（k+1）

也就是2+4+…+2（k+1）=（k+1）2+（k+1）+1

所以当n=k+1时，原等式也成立。

由题目可知，当n=1时，原等式实际上是不成立的，学生在解题时忽略了第一步的重要作用，对数学归纳法进行机械的套用，造成解题的错误。

1.2存在多余验证。

例2：如果n∈N+，证明n2+5n能够被6整除。

很多学生在对这道题进行第一步的证明时，会对n=1、n=2，n=3的情况分别进行验证，如当n=1时，12+5×1=6能够被6整除，当n=2时，22+5×2=18能够被6整除，当n=3时，32+5×3=24能够被6整除。很多学生在初学数学归纳法时都会存在多余验证的问题，实际上是一种出力不讨好的现象。

1.3自以为是，蒙混过关。

例2：当n∈N+，证明（3n+1）·7n-1能够被9整除。

证明：（1）如果n=1，4×7-1=27能够被9整除。

（2）如果n=k时，（3k+1）·7n-1能够被9整除，那么[3（k+1）+1]·7k+1-1=[3k+1+3] ·7k+1-1+3·7k+1能够被9整除，所以当n=k+1时，（3n+1）·7n-1也能够被9整除。

学生在第二步的证明中，令p（n）=（3n+1）·7n-1，很难找到p（k+1）与p（k）之间的内在联系，所以在解题时草草收场。

2.高中生运用数学归纳法常见错误的解决方法

2.1利用学生熟悉的内容，突破概念中的重难点理解问题。

教师在对学生进行数学归纳法的教学或者讲解时，可以以学生比较熟悉的事例来导入课堂学习内容，让学生更加深刻的了解数学归纳法的本质，更好的掌握数学归纳法的概念和用法。比如教师在对学生进行数学归纳法教学时可以利用击鼓传花的游戏来导入课堂教学内容，让班级的学生排好队围成一圈，当学生听到鼓声时，就把花传到下一位同学手中，鼓声停止，传花过程终止。游戏过后，教师可以给学生提出问题，为什么每位同学都能够在游戏中拿到花呢？原因就在于传花的规则，在第一位同学拿到花时，听到鼓声就要把花传到下一位同学手中，只要鼓声不停，就能够保证花的无限传递，这样就能够保证每位同学都能够拿到花。我们可以假设每位同学都能够拿到花的命题是p（n），要想使p（n）真正实现首先要保证第一位同学能够拿到花，也就是保证p（1）时，命题为真命题，根据传花的规则再得到p（k+1）为真命题，这样就能够保证每一位同学在游戏中都能够拿到花，不用再进行一一验证。学生在传花的过程中就能够体会到命题真正的传递过程，对数学归纳法的两步运算程序进行深刻的理解，从中领悟数学归纳法的内涵，促进学生关于数学归纳法知识结构的构建。

2.2提炼要点，加深学生的印象。

在学生理解了数学归纳法的用法之后，教师可以带领学生对数学归纳法的使用要点进行提炼，最好能够形成口诀，帮助学生加深对数学归纳法知识的记忆。可以把数学归纳法的使用归纳为一表示“使用p（k）表示p（k+1）”、二使用“使用归纳假设法进行验证”、三变形“运算变形，得到结论”。这样就能够帮助学生更好地掌握数学归纳法的正确使用方式和使用步骤，防止学生在进行第二步的论证时，不使用归纳假设法，而使用其他验证方式的错误做法。

2.3利用数学归纳法的变式拓宽学生的视野。

设p（n）是关于n∈N+的命题。

（1）使用第二数学归纳法来解决，（1）p（1）为真命题，（2）如果m≤k，p（m）为真命题，p（m+1）为真命题，所以p（n）对于一切n∈N+都是真命题。

（2）使用双击归纳法来解决，（1）p（1）、p（2）为真命题，（2）p（k-1）和p（k）均为真命题，那么p（n）对于一切n∈N+都是真命题。

（3）使用跳跃式数学归纳法来解决，（1）p（1）、p（2）、…、p（m）都是真命题，（2）p（k）为真命题，那么p（n）对于一切n∈N+都是真命题。

2.4让学生打好基础，掌握数学归纳法的变形能力。

扎实的数学基础是高中生学好数学的根本方法，在对学生进行教学时，教师要着重培养学生对于基本知识的掌握，引导学生对数学归纳法进行牢固的掌握，对于学生在解题中容易出现的错误，教师可以通过为学生讲解典型例题的方式进行解决。对于那些难以进行变形的问题，教师也可以通过为学生讲解典型例题，让学生对解题的规律和技巧进行深刻的掌握。

结语

学生在学习数学归纳法时，很难避免各种问题的出现，教师在对学生进行数学归纳法讲解时，一定要对学生经常出现的问题进行分析和总结，针对学生容易出现的問题提出相关的解决措施，促进学生数学水平和学校数学教学水平的快速提高。