用PDE工具箱计算非完整带电圆环的电场强度

姜天一，李华福，蔡武德

(云南师范大学 物理与电子信息学院，云南 昆明 650500)

在电磁场问题中，理论上根据电磁场理论可以解决一切电磁场问题，但在实际问题中，由于其边界和边界条件复杂等原因，寻求解析解是非常困难的[1]。如均匀带电圆环，文献[2]用椭圆积分的方法导出了带电圆环在全空间的电场强度分布，文献[3]用库仑定律求出了电场强度的积分表达，文献[4]则利用电场叠加原理导出电场的级数解。但无论哪种方法得出的解的表达都是相当复杂的，这还是均匀带电圆环这种规则形状的问题，如果圆环是不完整的或是其他不规则形状，用以上3种方法就无法求解了。本文利用MATLAB软件来得到数值近似解，计算这类不规则带电体的场强分布。MATLAB简单易学，集数值计算、符号计算和图形可视化三大基本功能于一体[5]。PDE toolbox是基于MATLAB的研究和求解偏微分方程的工具集合，它为二维空间上的偏微分方程的研究与求解提供了强大而灵活的工作环境[6]。

1 理论基础

带电圆环的电场属于静电场问题，静电场的偏微分方程为Poisson方程[7]:

式中，为电势，ρ为电荷密度，ε为介电常数。

对于该问题取第一类边界条件即Dirichlet条件[8]，该条件描述为:

式中，为电势，h和r为自定参数。

2 均匀带电圆环场强分布的计算

文献[9]给出了极坐标系下Poisson方程的有限差分公式，据此可以用MATLAB编程计算带电圆环的电势分布。设半径方向和圆周方向的网格均匀划分，边界上的电势设为0，圆环区域的电荷密度设为5×10－8C/m2，其余部分设为0，编程计算结果如图1所示。

图1 均匀带电圆环的电势分布

再用PDE工具箱计算。在PDE工具箱的GUI里构造带电圆环的计算模型，如图2所示首先画出两个同心圆C1和C2，C1－C2便是带电圆环区域，然后再画一个大的同心圆C3作为整个计算区域的边界。

图2 模型构造

在Options菜单的Application菜单项下选择Electrostatics(静电)模式，在 Boundary菜单的Specify Boundary Conditions菜单项下设置边界条件为Dirichlet条件，设h=1，r=0。在PDE菜单下的PDE Specification菜单项里给各区域设置参数，全部区域的介电常数ε统一设为真空中的介电常数ε0=8.854×10－12F/m，圆环区域C1－C2的电荷密度ρ设为5×10－8C/m2，其余部分设为0。然后剖分网格并加密后进行计算求解问题，输出电场强度，绘制等势线将电场强度E通过不同颜色的形式来输出，如图3所示。

图3 均匀带电圆环电场分布

比较图1和图3可以发现，在圆环周围电势最高，场强也最大，随着离开圆环的距离的增大，电场强度减小，电势也逐渐降低。

为了定量分析有限差分法和PDE工具箱的计算结果，取一些坐标点的电场强度值进行比较，结果如表1所示。

表1 完整圆环计算结果比较

由表1的结果可以看出，在误差允许的范围内，有限差分法和PDE工具箱的计算结果是一致的，而PDE工具箱无须自己编程，求解结果高效准确，可见其功能强大。

文献[10]给出了均匀带电圆环平面内电场强度的理论计算结果。用其计算环心处的场强，得其理论值为E(0)=0。而用PDE工具箱计算均匀带电圆环圆心处的数值解为7.948×10－5，这个值非常接近于0，与理论计算得出的结果基本上是吻合的。

3 非完整带电圆环场强分布的计算

先利用有限差分法编程计算非完整带电圆环的电势分布，结果如图4所示。

图4 非完整带电圆环电势分布

把图2中的完整圆环用矩形切割构造成不完整的圆环，然后用PDE工具箱计算其场强分布，结果如图5所示。

图5 非完整带电圆环电场分布

从图4和图5可以明显看到，当改变圆环的完整性时，圆环周围的电势和电场强度也跟着发生了变化，特别是缺失的圆环部分周围。

对于非完整圆环的两种计算结果，取一些坐标点的值进行分析，如表2所示。可以看出，两种计算的结果在误差范围内是一致的。

表2 非完整圆环计算结果比较

4 结果分析

从图5的结果可以看出，非完整带电圆环的电场以圆心至缺口弦的垂线呈轴对称分布，圆环周围的电场强度较大，而随着离圆环距离增大，电场强度开始逐渐减小，电场亦主要集中在圆环附近，整个电场的场强分布是不均匀的，在圆环两端处电场最为密集，缺口处较圆环其他地方电场明显减弱。

为了定量分析非完整带电圆环的场强分布规律，在水平和竖直方向上选取4组点的数据，利用MATLAB软件的曲线拟合工具箱对这4组数据进行了拟合，结果如下。

1)y=0，x＞0射线上数据点的拟合结果如图6所示。

图6 y=0，x＞0射线上数据点的拟合结果

拟合公式:

2)y=0，x<0射线上数据点的拟合结果如图7所示。

图7 y=0，x<0射线上的数据点拟合结果

拟合公式:

3)x=0，y＞0射线上数据点的拟合结果如图8所示。

图8 x=0，y＞0射线上的数据点拟合结果

拟合公式:

4)x=0，y<0射线上数据点的拟合结果如图9所示。

图9 x=0，y<0射线上数据点的拟合结果

拟合公式:

从图6可以看出，随着r的增大，场强先变小，当r增大到圆环半径处时，由于圆环上电荷密度集中分布，场强急剧增大，r继续增大远离圆环时场强又逐渐变小。图7反映通过缺口的径向上的场强随着r的增大先增大再减小。图8和图9的变化规律和图6类似，同时它们的拟合曲线几乎一样，这正反映了非完整圆环缺口的对称性。

5 结束语

PDE工具箱的强大数值计算能力能方便地求解不规则物体的几何参数，而且能够使计算结果图形化，直观形象。通过对非完整带电圆环的场强分布的计算，得出非完整带电圆环电场分布规律，为不对称电场系统设计提供参考。

[1]黄作英，阙沛文，陈亮.PDE工具箱实现偏微分方程的有限元求解[J].计算机仿真，2006，23(9):100－102.

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[3]张之翔.均匀带电圆环的电场强度[J].大学物理，2012， 31(5):14－16.

[4]程昌林，王慧，李业凤.均匀带电细圆环的电场[J].大学物理，2003，22(6):15－17.

[5]李小燕，冯卓宏.应用Matlab辅助 《大学物理实验》教学[J].实验科学与技术，2014，5(10):63－65.

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[7]杨儒贵，张世昌，金建铭，等.高等电磁理论[M].北京:高等教育出版社，2008.

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[10]徐兰珍.均匀带电圆环环平面内的电场、电势分布[J].西安邮电学院学报，2000，3(9):62－64.