有界区间上的随机非局部Ginzburg-Landau方程

何 兴, 陈光淦

(1. 四川大学 锦江学院, 四川 彭山 620860; 2. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

1 引言及预备知识

分数阶微分方程包括分数阶微分和分数阶积分,不但有深渊的物理背景,而且其应用也相当广泛,如混沌动力学[1]、复动力系统[2]等.近十多年来,分数阶微分方程在流体力学、材料力学等领域得到深入研究,包括分数阶p-Laplace方程[3]、分数阶Schrödinger方程[4]、分数阶Landau-Lifshitz方程[5]、分数阶Landau-Lifshitz-Maxwell方程[6],以及分数阶Ginzburg-Landau方程[7]等.

本文在有界区间上考虑带乘性噪声的非局部Ginzburg-Landau方程

(1)

其中,t∈[0,T],D=(-1,1),Dc=RD,i为虚数单位,μ、ν、r>0,σ>0为实常数,W(t)是维纳过程.非局部Laplace算子(-Δ)α定义为

(2)

其中,x∈D,Cα是与α有关的常数.

文献[8]中定义在整个实数空间R上的分数阶Laplace算子(-Δ)α,它是一个微分算子,可以通过傅立叶级数来定义,由此定义出经典的分数阶Sobolev空间.而本文中出现的分数阶Laplace算子(-Δ)α是定义在一个有界区间D上.由于是一个非局部Laplace算子,经典的分数阶Sobolev空间不适用,因此需要定义一个加权非局部Sobolev空间.更多关于在有界区间上的非局部Laplace算子的信息,详见文献[9-10].

定义1.1[11]设α∈(0,1),D⊂R,定义分数阶Sobolev空间

L2(D×D)},

其范数为

其中

被称为u的半范数.

引理1.1[11]令α∈(0,1),D是R上的有界区间,则存在常数C=C(α,D),使得对任意的u∈L2(D)有

‖u‖C0,β(D)≤C‖u‖Wα,2(D),

本文考虑D=(-1,1)⊂R,由文献[11]有

再根据文献[12],设ν(x,y),β(x,y):R×R→Rk,其中β满足β(x,y)=-β(y,x),且

显然D(ν):R→R.给定映射u(x):R→R,D*表示D的伴随算子,则

D*(u)(x,y)=(u(x)-u(y))β(x,y),x,y∈R,

显然

D*(u):R×R→Rk.

用Θ(x,y)=Θ(y,x)表示二阶张量,且满足Θ=ΘT,那么有

β(x,y)·(Θ(x,y)·β(x,y))dy,

其中x∈R,D(Θ·D*u):R→R.当Θ为单位矩阵时,同时β满足

则

其中

从而有

D(Θ·D*u)(x).

(4)

由(4)式表明经典的分数阶Sobolev空间Wα,2(D)在这不适用,因不能保证

定义

Hα(R)={u∈L2(R):

则

其范数为

引理1.2[13]设B0、B、B1均为Banach空间,且B0和B1是自反的,B0⊂B⊂B1,同时B0紧嵌入到B,γ∈(0,1),X=L2(0,T;B0)∩Wγ,2(0,T;B1),则X紧嵌入到L2(0,T;B).

2 鞅解的存在性

下设

则有

再设W(t)是一个完备概率空间(Ω,F,P)上的维纳过程,且在可分的Hilbert空间U上取值.算子Q是定义在U上的非负对称算子,满足TrQ<+∞,则在U上存在一个完备的标准正交基{ei}i≥1和非负的有界实值序列λi,使得Qei=λiei且

于是

其中βi(t)是相互独立的维纳过程.记L2(U,H)是从U到H的全体有界线性算子组成的空间,则对任意的G∈L2(U,H)有

进一步假设(A)：g:H→L2(U,H)是连续的,且满足

其中,u、v∈H,参数C、λ为正实数.

显然Pn|H是H到Hn的正交投影,且对∀u∈Vα,υ∈Hn可得

由于在有限维空间上的随机微分方程满足Lipschitz和线性增长条件,则方程(5)存在唯一解

第二步,先验估计.令

取期望得

再由Gronwall不等式得

(6)

(7)

再令

再由Burkholder-Davis-Gundy不等式和Young不等式可得

最后由Gronwall不等式得

(8)

I1+I2(t)+I3(t)+I4(t)+I5(t).

(9)

由(6)式可得

同理可证

(10)

因为

于是取φ∈Vδ,则

|〈un,(-Δ)αφ〉H|≤

‖un‖H‖(-Δ)αφ‖H.

(-Δ)αφ(x)=

于是有

同理可证

(11)

因为

由G-N不等式以及Young不等式可得

同理可证

(12)

因为

同理可证

下面利用文献[14-15]的方法证明鞅解.记

则

显然Mn(t)是一个鞅,且E‖Mn(t)‖2<+∞.再令φ是空间L2(0,T;H)里的一个连续有界复值函数且0≤s≤t≤T.因为Mn(t)是滤子为σ{un(s):0≤s≤t}的鞅,则

E([Mn(t)-Mn(s)]φ(un(·)))=0,

(13)

以及对所有的a、b∈H有

E([〈Mn(t),a〉〈Mn(t),b〉-

〈Mn(s),a〉〈Mn(s),b〉-

φ(un(·)))=0.

(14)

再记

因为

则

所以有

(15)

(16)

对应的二阶变差为

对(15)和(16)式取极限可以得到

(17)

以及

(18)

其中

令(-Δ)α=A,则

对应的二阶变差为

最后由鞅表示定理可得方程(1)存在一个鞅解.

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