一种双曲面演示装置的设计

洪先亮　邢金龙　李瑞敏　方猛　仝文浩

[摘 要]作为科技馆基础学科展品中不可或缺的一个种类，数学类展品一直深受观众的喜爱。单叶双曲面是由与回转轴线交叉的母线绕回转轴线旋转而形成的，但是观众对其原理难以建立形象，无法直观地理解。本文对单叶双曲面进行研究，利用视觉暂留现象设计出一套集成光、电、控制、机械的双曲面演示装置。该装置能广泛应用于科普场馆常设展览及流动科普巡展等，可有效地展示旋转直纹面的形成原理以及常见旋转直纹面之间的关系，对于促进观众理解相关数学知识，提升数学学习兴趣有很大帮助。

[关键词]科技馆 数学类展品 单叶双曲面

展示单叶双曲面与母线之间关系的类似“双曲狭缝”的展品经常出现在各个科普场馆常设展览和流动科普巡展中，深受广大观众的喜爱，有着非常重要的科普教育意义。该类展品历经静态展示、动态展示、动静结合展示，直至发展到动静结合且动态部分多角度展示以及实心体双曲狭缝隧道展示。虽然单叶双曲面演示装置的展示方式一直在进步，但对于数学知识相对欠缺的人群来说，现存的展示方式仍然无法直观、有效地展示单叶双曲面的形成原理，而且到目前为止，国内外也没有能够动态、立体、直观地展示单叶双曲面形成原理的展品。于是，我们着手研究一种新的单叶双曲面演示装置，能够全面、动态、可视化展示单叶双曲面的形成原理，并应用于科普展览，使抽象、复杂的数学知识变得通俗易懂。

一、单叶双曲面的形成原理

曲面可以看作是一动线在空间运动的轨迹。该动线称为母线，母线处于曲面上任一位置时，称为素线。母线作不规则运动，形成不规则曲面；作规则运动，形成规则曲面[1]。

根据母线的形状，可将曲面分为直线面和曲线面。凡可以由直母线运动而形成的曲面均为直线面，也称直纹面[2]。直纹面分为旋转直纹面和非旋转直纹面，本文只研究旋转直纹面。

旋转直纹面是工程中和日常生活中最常见的一种曲面，在旋转直纹面中，若母线与回转轴线平行，则母线的旋转轨迹形成圆柱面（图1a）；若母线与回转轴线交叉，则母线的旋转轨迹形成单叶双曲面（图1b）。

二、设计需求与原则

（一）设计需求

（1）单叶双曲面的立体形象可视化。

（2）演示过程中可连续调节单叶双曲面的高斯曲率，使单叶双曲面外形连续变化（由圆柱面变化为单叶双曲面）。

（3）展示由素线组成单叶双曲面的空间立体形象。

（二）设计原则

1.科学性原则。该装置主要演示单叶双曲面的生成原理和过程，应当由理论入手，即单叶双曲面的数学概念：“由与回转轴线交叉的母线绕回转轴线旋转而形成”。根据科学的数学理论，确定演示方式和结构。

2.创新性原则。传统的演示装置采用多媒体或简单机械互动形式，虽能演示相应数学原理，但互动性和趣味性不足，且效果不够直观。因此，需要采取相应技术手段，采用更加直观、立体、有趣的方式展示单叶双曲面的形成过程。

3.安全稳定性原则。该演示装置主要用于科普展馆或流动巡展等人员较多、操作较为频繁的场合，因此需保证演示装置的安全性和可靠性。

三、技术手段

由以上设计需求及设计原则，总结归纳出该演示装置需解决的关键问题，主要有三个：如何立体地展示单叶双曲面的形象，如何实现单叶双曲面高斯曲率的连续调节，如何实现素线的可视化。下面将针对这三个关键问题提出相应的技术手段。

（一）空间立体形象可视化

人眼在观察景物时，光信号传入大脑神经需经过一段短暂的时间，光的作用结束后，视觉形象并不会立即消失，而要延续0.1～0.4秒的时间，这种现象称为视觉暂留[3]。要实现单叶双曲面的空间立体形象可视化，需 “留住”母线绕回转轴旋转的轨迹，而利用“视觉暂留现象”即可实现“留住”轨迹的功能。

根据视觉暂留现象，人眼若要观测到连续的空间曲面，需保证母线在0.1～0.4秒内围绕回转轴旋转一周，即旋转轨迹形成一个完整的单叶双曲面。为了保证最佳效果，设定母线每0.1秒绕回转轴旋转一周，则母线最佳回转转速为600r/min。理论上不发光的母线在最佳转速下也可呈现视觉暂留现象，但是由于发光体对于人眼的刺激更加明显，所以采用发光母线会有更好的演示效果。

（二）高斯曲率连续调节

高斯曲率实际反映的是面的弯曲程度[4]，调整单叶双曲面的高斯曲率，实质就是调节单叶双曲面剖线的弯曲程度。母线与回转轴的交角控制着单叶双曲面的弯曲程度，交角越大，形成的单叶双曲面越弯曲，反之就越平滑。在交角为0状态时，高斯曲率为0，此时母线的旋转轨迹形成圆柱面。

在回转轴上装配可控制的连续转动部件，并使转动部件与母线相连，在母线旋转过程中，控制转动部件转动，带动与之联接的母线，从而改变母线与回转轴的交角，实现单叶双曲面外形连续变化（圆柱面到不同曲率的单叶双曲面）。

（三）素线可视化

母线在曲面上的任一位置称为素线。素线的可视化，是指在演示过程中可见若干条亮线组成完整（不连续）的空间单叶双曲面。实现素线可视化也需要依据视觉暂留现象，故实现此功能的条件之一是母线达到最佳转速600r/min。

素线可视化的本质是将立体连续的空间曲面中按一定规律摘取若干母线轨迹，并凸显表现出来。实现此功能需要母线具备两种状态：显态和非显态。在母线旋转过程中，控制母线按照一定频率在显态和非显态之间快速切换，根据视觉暂留现象，若干显态的母线轨迹会留存到人的大脑里，形成素线构成的空间曲面。

四、结构与演示流程

综合以上研究内容，对单叶双曲面演示装置进行结构设计，如图2所示。

该演示装置的工作流程为：主电机通过主轴带动发光母线旋转，常亮的发光母线的旋转轨迹形成连续空间曲面，轉动旋转编码器控制蜗轮蜗杆减速电机旋转，连续地改变发光母线与主轴间的交角，使空间曲面形状发生变化。光电开关实时采集主电机转速，并控制发光母线按照实时转速频率在显态和非显态之间迅速切换，形成素线演示效果，该方法比程序控制方法更加准确，素线演示效果也更加稳定。该演示装置效果图如图3所示。

五、结论

本文依据科学的理论指导，利用现有的技术手段确定了单叶双曲面演示装置的设计需求与原则、技术手段、演示结构等，解决了空间曲面立体可视化、空间曲面曲率连续可调节变化、空间曲面的素线可视化等关键技术问题，做到了精确控制发光母线闪烁频率与旋转速率相匹配，使其符合人眼的视觉暂留特性，从而在空中呈现出准确、稳定的圆柱面和单叶双曲面等造型，不但能够展示圆柱面与单叶双曲面之间的关系，并且可以通过控制发光母线在显态和非显态切换时展示回转面是由母线围绕轴线旋转所形成的这一基本原理。

经过对单叶双曲面演示装置的设计，本文还总结了几点关于单叶双曲面装置在形体特征方面的规律：其一，在其他因素不变的前提下，发光母线与回转轴之间的空间距离越小，旋转形成的曲面越“瘦”，反之越“胖”；其二，在其他因素不变的前提下，发光母线的长度越长，旋转形成的曲面相对越“高”，反之则越“矮”；其三，在其他因素不变的前提下，发光母线越细，回转面越清晰。这些规律对于将来研发以发光母线围绕回转轴旋转形成的回转面或其他形式的曲面都有参考意义。

该演示装置能广泛应用于科普场馆常设展览及流动科普巡展等，可以有效地展示旋转直纹面的形成原理以及常见旋转直纹面之间的关系，对于促进中小学生理解相关数学知识，提升其对数学学习的兴趣有很大帮助，具有非常可观的经济效益和社会效益。

参考文献

[1]和丕壮，王鲁宁.交通土建工程制图[M].北京：人民交通出版社，2001.

[2]李小瓯.一种空间直线面的演示装置：201210517697.0[P].2013-04-03.

[3]马硕.视觉暂留现象演示系统：203085022 U[P].2013-

07-24.

[4]丁一.获得三维曲面相对大小高斯曲率的方法与实现[J].价值工程，2014（35）：204-205.