七年级的动态几何图形问题

张章

摘要：动态几何这类问题，已成为初中生他们日常学习中的重难点以及考试中的失分点。本文将通过一些具体的实例重点介绍七年级动态几何问题的分类、特点以及解题方法，并对这类问题进行归纳与总结，从解决几个典型例子中找出解决七年级动态几何问题的一般规律，帮助他们解决数学的一大障碍。

关键词：动点；数形结合；数轴；类比

七年级的动态几何问题主要有“点动”和“角动”这两类。

例1.已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为-3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x.

（1）如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是_____

（2）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，N的距离相等？

分析：这是一道典型的数轴上的动点问题，如果能利用数轴上的“中点”公式（）、和动态点的数量表示即起始点数a，向右（左）运动，速度为b，时间为t，就可表示为a+bt（a-bt），解决起来就容易得多。

解析：（1）点P到点M，点N的距离，P即为MN的中点，点P对应的值即为

（2）此题如果用一般的方法去解决，即先画图再分析数量关系，势必要画出运动过程的点的动态图形，例如图（2）

而图2只是其中一种图形而已，三个动点运动之后，还会出现图（3）、图（4）、图（5）

但是如果利用数轴上的中点公式和点的数量表示，P到点M，N的距离即分为两种情况，其1运动后的点P是点M和N的中点，，t=2；其2就是M与N两点重合，.

总结：解决动点问题要数形结合，巧用数轴“中点”公式和动态点的数量表示。

例2.如图1，A是数轴上一定点，A表示的数是5，B是数轴上一动点，B从原点O出发沿数轴正方向运动，速度为每秒1个单位长度，点C在点B的右侧，BC=1，点D在点B的左侧，BD=2AC，设B运动的时间为t秒。

（1）若点B在线段OA上运动，且CD=2，求t的值.

（2）整个运动过程中，当OD=AC时，写出点D所表示的数。

分析：（1）如果先画图，图形情况不一，C在A的左边，C在A的右边，两种情况下D可能在O的左边，也可能在O的右边，学生需要先算出各种临界值，来判断各种情况是否存在。如果利用前面例1提到的数轴上点的数量表示法，先表示出C，D，马上就能迎刃而解。

解析：点C：t+1，由题意点D即可表示为：t-1，那么BD=t-（t-1）=1，AC=0.5，再根据C有两种可能的位置，t+1=4.5，t+1=5.5，求出t=3.5或4.5.

分析：（2）类似于（1），如果先考虑图形，将会有四种可能的情况，同样情况复杂，如果利用数轴上的距离公式即，先一网打尽，再分类求解即可。

解析：C：t+1，，BD=2AC，

BD=2t-4，D=t-2t-4，OD=t-2t-4-0，即可得方程：t-2t-4-0=t-4，然后再分类讨论解决绝对值方程。

总结：七年级的动态问题，不必急于画图，学会用绝对值方程一网打尽。

例3 如图，教室里挂的时钟，时针、分针、秒针均按时匀速转动，分别用OB，OA，OC来表示，

（1）秒针的速度为____度/秒；分针的速度为____度/秒；时针的速度为_____度/秒

（2）从4点到6点有几次∠AOB等于60°，分别是几时几分？

（3）从4点整开始，若秒针OC从12的位置上开始，经过多少秒，OC第一平分∠AOB.

分析：第（2）中，根据OA和OB的运动速度，它们的位置关系一定会出现两种情况，再根据4点到5点，5点到6点两个时间段，将出现4种可能。每一种图形中，根据其中角的和差关系建立方程，对于七年级的学生来说难度是比较大的。但是如果把射线的运动类比作“追及问题”，那么解决起来就一点都不难了。

解析：追及问题的公式：，4点整即为初始位置，∠AOB为120°，若∠AOB变为60°，“路程差”即为60°或180°，，或是.如果换成5点到6点之间，那么起始位置的∠AOB=150°，或是。

分析：第（3）题中，OA，OB，OC三条射线都在运动，由图像得出角的和差关系，显然难度很大，如果把角的角平分线类比作“中点”，将12时的位置看作数轴上的原点，那么问题就很好解决。秒针的速度为6度/秒，分针的速度为0.1度/秒，时针的速度为度/秒，类比于数轴上点的表示，可以把射线OA表示作：0+0.1t，射线OB表示作：，射线OC表示为：0+6t，射线OC平分∠AOB即可类比作C是A和B的中点，利用“中点公式”， 可得 ， 即可解得 。

总结：角的动态问题即射线运动，可以类比为点的“追及问题”；角平分线问题也可类比为“中点问题”。

例4：如图1，∠AOB=30°，∠BOC为∠AOB外的一个锐角，且∠BOC=80°

（1）如图2若OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数。

（2）如图，射线OP从OC处以10°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，求多少分钟时，∠MON的度数是30°？直接写出答案。[注：本题所涉及的角都是小于180°的角]

分析：（1）可以根据角平分线的和差关系解决；第（2）问，很多同学也是先画出图形，然后再根据角的和差关系去解决，难度是相當大的，因为有两条动态的射线，进而又产生两条动态的角平分线，图形虽然已有，但角的和差关系还是十分复杂。在解决完第（1）后，如果能进一步推导∠MON的角度的规律，∠MON的度数一定等于∠AOB的一半，那么将可以非常简单地解决第（2）问。

解析：不妨先来推导一下（1）的一般规律：设∠AOB=a，∠BOC=b，∠AOC=a+b，，，那么，也就是说：原来两个角的差为a，各自的角平分线所形成的角的度数即为；其实还可推广到：原来两个角的和为a，各自的角平分线所形成的角的度数也为。

有了这个规律，第（2）中∠MON的度数是30°，可以反推出∠AOQ=60°，那么本来是要考虑4条动态射线的问题只要考虑OQ一条即可。OQ可以表示为：30+10t，∠AOQ=60°，30+10t=60或者30+10t=300.

总结：两条角平分线的问题经常会存在规律，如果根据数量关系将规律总结出来，可以帮助解复杂的动态问题。

通过对以上四道题的分析，七年级的动态几何图形显然不同于中考复习中的动点问题，不要急于画出动态的分类图形，而是要学会数形结合，灵活运用数轴的中点公式、动点的数量表示，距离公式绝对值方程等代数方法去解决，而动态角的问题，图形更为复杂，巧用类比方法和探究数量规律，问题便可迎刃而解。

参考文献：

[1]王中文.初中数学动点问题的解题策略.读与写：教育教学刊，2012

[2]姚万里，丁艳芳.动点入题 心旷神怡[J].中学生数理化，2012（5）：17-18.