例谈三角函数模型解决问题

武想中

核心概念中唯一以“思想”冠名的模型思想与“四基”之一的“数学基本思想”相互回应，其本质就是让学生体会和理解数学与外部世界是紧密联系的，连接它们之间的“桥梁”就是数学建模.

一、教材分析

“用锐角三角函数解决问题”是苏科版教材初中数学九年级第七章第六节的内容.本节课是继前面学习有关坡度和旋转问题后的又一种类型：测量问题.三种类型问题只是背景不同，其解决问题所用的工具相同，即直角三角形的边角关系.它是解直角三角形的延续，渗透着数形结合、转化、方程等数学思想，更是高中解斜三角形的重要预备知识.

二、学情分析

通过前面的学习，学生已经经历了建立三角函数模型解决问题的过程，掌握了一定的解题技巧和方法，具备一定的分析问题、解决问题的能力及数学思想方法.另一方面，利用三角函数解决测量问题往往涉及两个直角三角形，且在公共直角边的两侧（背靠式）或同侧（叠合式），这会给学生思维上产生障碍.

三、教學流程

1.情境创设

热气球的探测器显示，从A处看一栋高楼顶部B处的仰角为30°，从A处看楼底部C处的俯角为60°.若热气球与高楼的水平距离为90m，这栋高楼有多高？

2.探索活动

教师解释仰角、俯角的含义.当我们进行测量时，从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角.

带着下列问题，学生独立思考，在思考的基础上进行讨论和交流：（1）如何画出示意图？（2）“热气球与高楼水平距离”如何表示？（3）结合示意图，已知什么？要求什么？（4）还有其他的方法吗？（5）与之前旋转问题相比，本题在图形上有什么变化？

设计意图：引导学生从不同的角度思考问题，进一步熟悉直角三角形各元素之间的关系，提高学生分析和解决问题的能力以及如何将实际问题抽象成数学问题.体会解直角三角形的本质是解边角关系，其他几何图形的边角关系问题也可以转化为直角三角形来解决.

问题1：如何测量停留在空中的气球高度？小明设计这样一个方案：先站在地面上某点观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进50m，再观测气球，测得仰角为40°.若眼睛离地面1.6m， 如何计算气球的高度？师：为了测量气球高度，小明选择两点测量气球顶端的仰角，如果只选择一处，可以吗？为什么？生：不可以，因为解三角形必须已知一边的长，而我们无法测量观测点和气球的水平距离或观测点与气球之间的距离. 师：很好，也就是说如果我们可以测量观测点和建筑物之间的水平距离只需要选择一个观测点.反之我们就需要选择两个点进行测量.

带着下列问题，学生独立思考，在思考的基础上进行适当讨论和交流，学生自主合作解决问题，教师作适当引导.（1）（2）（3）问题同前.（4）结合图形，表示前进50m的线段能转化吗？如何转化？

设计意图：与前面的问题最大区别是需要利用方程思想解决问题，这需要学生在自主合作解题的过程中逐步体会.学生解决问题的途径可能是多种多样的，但只要合理就应给予肯定，必要时进行方法引领.

问题2：你能说说利用锐角三角函数解决实际问题的一般步骤吗？这与之前学习过的哪些知识是类似的？

设计意图：结合两个问题的解决思路体会三角函数解决实际问题的一般步骤，引导学生将这一过程和方法与利用方程、不等式、函数解决问题的步骤进行类比，体会数学在解决问题时的通性通法.

3.案例反思

数学建模是促使学生“从做中学”的一种重要方式，建模活动就应立足于“做”而不是立足于“讲”，应是学生讨论、探索、自主解决问题的过程.合作交流、对话沟通已成为教学新的特点，教师应适时地采用小组讨论、合作交流的方式，让每个学生都能从自己的角度出发，提出不同角度、不同层次的见解，让更多的学生愿意和渴望参与到课堂教学活动中，获得积极的情感体验.教师要成为他们参与活动的脚手架，在他们遇到困难时给予适当的引导和提示.

坚持以学生为主体，注重所学内容与实际生活的联系，通过追问和设计问题的形式，把一个大问题分解成几个小问题，满足不同层次的学生，让学生带着问题进行探索、交流，使他们在思考中产生新认识，获得新提高.