数形结合细分类 题组生长促思维——以2017年一道存在性中考试题为例

浙江省绍兴市柯桥区平水镇中学

沈岳夫 (邮编：312050)

纵观2017年各地的中考试卷，笔者发现架构在二次函数下的函数几何型的存在性问题考查比较频繁，尤其如等腰三角形的存在性问题，相似三角形的存在性问题，平行四边形的存在性问题等比比皆是．这类问题在考查时往往把存在性问题置身于函数图象这一背景下，考查的知识点相对多而分散，综合性强，对学生数形结合、分类讨论、方程与函数等数学思想方法的运用能力要求较高，从而导致这类题型得分率并不高，且漏解现象也很严重．为此，笔者特遴选一道中考试题，对其解法进行探究，愿与大家共同分享．

1 真题示例

图1

(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；

(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P、N．

①点M在线段OA上运动，若以B、P、N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；

②点M在x轴上自由运动，若三个点M、P、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M、P、N三点为“共谐点”．请直接写出使得M、P、N三点成为“共谐点”的m的值．

当M在点A的左侧时，分三种情形画出满足题意的图形：

图2

图3

图4

若M为线段PN的中点(如图3)，由PM=MN，同理，可解得m=-1或m=3(舍去)；

评注这是一道以运动为表象，融几何与坐标为一体的压轴题，综合性强，难度较大．运动类问题大都是以动点、动线或者几何图形整体运动为载体的，在分析问题时，需要弄清楚运动的相关要素，如运动的对象、方向、速度等，并将这些要素以某种形式呈现出来，使动态的问题转化为静态的几何图形问题．就本题第(2)小题第②问，从形的角度，点M既可以在点A的左侧，也可以在点A的右侧进行分类，并想方设法画出符合题意的图形，但通过数的计算，点M在点A右侧的情形不存在的，本题正是数形结合思想中“以数解形”的典例；从数的角度，通过设元，利用函数图象上的点的坐标特点，抓住“铅垂线段=y上-y下”建立方程；从动态的角度，我们要用变化的眼光去观察和研究图形，在理解“共谐点”的前提下，以静制动，最终捕捉、定格出符合条件的图形，再结合图形探求，然后各个击破求得M点的横坐标．

2 题组生长

数学思维的发展仅仅依赖一道例题的讲解是远远不够的，还需要重视变通思维能力的培养，即恰当变更问题情境或改变思维角度，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法．因此，课堂教学要常新善变，采用一题多变，通过对原题 “生长”、挖掘改造、拓展延伸，能有效提高教学效率，帮助学生实现知识的整合、方法的迁移，进一步感悟、理解问题的本质，数学思想方法，提升分析、思考、研究问题的思维能力．

问题1若连接BM，BN，当满足S△BPM∶S△BPN=1∶4，求m的值．

问题2若连接BN，当△BPN为直角三角形时，求m的值．

问题3若连接BN，当以O、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．

问题4若连接BN，当∠PBN=45°时，求m的值．

问题5若以PN为直径作⊙R，当⊙R与y轴相切时，求m的值．

巩固题如图5，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=x+1相交于A(-1，0)，B(4，m)两点，且抛物线经过点C(5，0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．

①当PE=2ED时，求P点坐标；

②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图5

评注该题组是在原题的框架下，不断“生长”出新问题，如抛物线与面积、特殊三角形、特殊四边形、特殊角、圆的相切等．在解决问题的过程中，教师逐渐增加条件、变化图形，让学生主动寻求解决问题的方法并产生新的问题，使问题和思维层次逐渐深入．最后，将问题像“链条”一样串联起来，多题归一，环环紧扣，层层递进，深化思维，激发学生思维发展的内驱力．教学中随着对图形的不断“联想”，学生能够懂其原理，知其方法，通其变化．最后再设置一道巩固题，让学生在解题和思维的碰撞中提升思维能力，活化所学知识，让学生在探究中既掌握所学知识和技能，又感悟知识的本质，积累思维和实践的经验，形成和发展核心素养，助力培养学生的高阶思维，让不同思维层次的学生更上一个思维台阶．

3 复习建议

中考复习时间紧、任务重，我们既要系统地复习主干知识和核心知识，又要关注中考的热点和试题特征，准确把握复习方向；既要注重学生解题的数量和质量，又要注重揭示解题的思维过程，发现学生思维上的漏洞，及时加以弥补；既要关注习题的选择，又要防止单纯地就题论题，注重解题后的反思，以积累解题经验、形成能力为落脚点；既要重视知识的综合、联系，又要关注数学思想方法、策略、学科能力的训练和培养，把复习工作真正落到实处．

3.1 以形助数，有效构图

纵观各地的中考试卷，以二次函数图象为载体来探究满足某种条件的特殊图形(如等腰三角形，平行四边形等)是否存在，是近年来中考的热点．解答时要挖掘特殊图形的性质，通过图形的直观性构建关键“点”及“线”之间的位置与数量关系，从而达到以形助数的目的．如本文在探求第(2)小题第②问时，应先根据动线MN，分类画出符合要求的图形(最好是分离后的简化图形，如图2～4)，这样既有助于理清题目条件尤其是隐含条件，又有助于构造数与形的之间“等量”关系．可见，有效构图，能使条件整合，能给予解题导向，能为不同水平的学生各尽所能提供展示的平台．

3.2 注重变式，启迪思维

著名的数学家希尔伯特说过：“一个问题的解决意味着一系列新的问题的诞生．当我们解题成功时，不要忘记提出新的问题，因为还有许多宝藏尚未开发出来．”由此可见，无论是平时的复习课教学，还是中考复习阶段的教学，不能就题论题，要善于挖掘，让问题走得更远．如本文所说的“题组生长”式教学是一种比较有效的方法，设计的问题是各个引例(例题)、习题之间具有一定的内在联系(或条件(图形)相似、或结论一致，或方法相同)，能加深学生对诸多知识和方法的理解，给学生营造一个“再发现”“再创造”的探究氛围，变式教学给学生一种新鲜、生动的感觉，能唤起学生的好奇心和求知欲，能产生主动参与学习的动力，保持对学习活动的兴趣和热情．

3.3 渗透思想，生长智慧

复习教学中，教师在讲授动点、动线存在性问题时应努力揭示问题的本质，揭示问题中蕴含的数学思想．因为数学思想是数学教学的核心和精髓，只有让学生体会和感悟数学思想，才能提高学生的数学素养．教师要不断引导学生对解题过程进行反思、联想、总结，教会学生提炼解决动态性存在问题的策略和方法，掌握基本解题技能．在解决问题过程中，尤其要注重对数学思想方法(方程与函数思想、数形结合思想、分类思想、化归思想、类比思想等)的渗透．在平时的教学中，要将数学方法用于解题，通过不断的讲解、提炼、归纳和总结，发展学生的数学思维能力．

总而言之，解题是数学教学中一个基本形式，一般学生都比较重视，但学生对题目往往不加选择，拿来就做，而不善于探索解题思路，不善于总结解题规律．为此，作为一线教师一定要精心备课，在选择例题或习题时，要发现试题间的内在联系，精心选择，合理安排．做到“在知识生长点处引入，在知识结合点处展开；在知识关键点处引伸，在能力提高点处设疑；在有价值处思考讨论，在困难处点拨与分析” ．因此，复习过程中要突出方法的提炼与归纳，秉持“题不在难，有思想方法就灵；量不在多，典题变式就行”，做到“解一题、得一法、通一片” ．

1 沈岳夫．对一道期末考试题的研究与拓展[J]．中学数学(初中版)，2017(3)：68-71

2 沈岳夫．细研解题思路 提炼解题模型[J]．数学数学，2017(1)：22-24

3 沈岳夫．对一道“新定义”型探究题的解法探析与拓展[J]．中学数学(初中版)，2016(2)：74-75

4 沈岳夫．抓住特殊角度 探求一题多解[J]．数学数学，2017(2)：23-26