基于有限差分法的重型龙门铣床大跨距横梁重力变形曲线计算方法探析

张宫野

摘 要：为了解决重型龙门铣床大跨距横梁由于材料、工艺等因素引起的横梁变形有限元仿真准确率低的问题，利用有限差分法来计算大跨距横梁重力作用下的变形曲线。首先是建立横梁重力变形的模型，若假设横梁变量为抗弯刚度，在结合自重变形曲线和重力变形模型计算抗弯刚度，则证实横梁材质存在不均一性。利用有限元仿真法分析横梁的变形特征，然后利用抗弯刚度来矫正变形曲线，从而获得更加准确地结果。有限差分法的应用能够提高铣头移动对工作台面平行度的精度。

关键词：有限差分法；重型龙门铣床；大跨距横梁；重力变形曲线

中图分类号：TH161 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）08-0108-02

重型龙门铣床是工业加工中的常用设备，广泛应用于航空航天、船舶制造等领域，铣床的精度对于加工设别的质量具有直接影响[1]。但是重型龙门铣床由于自身重量大且跨度大的原因，横梁在重力影响下会出现一定的变形，并且这一变形需要关注。横梁作为铣床的重要结构，铣头移动对工作台面平行度的精度（以下简称G10项精度）是铣床加工中最重要的指标之一。目前主要是通过补偿横梁变形曲线的方式来提高G10项精度[2]。但是由于许多因素的共同影响下，横梁变形计算的准确性较低，且需要反复装配和实验确保加工精度，成本高且耗时长。因此，寻找准确的计算方法是提高加工精度、减少成本的重要途径。

1 基于有限差分法的大跨度横梁重力变形曲线计算

1.1 横梁自重变形曲线的计算

首先需要通过测量横梁自重变形实验来获取横梁自重变形曲线，而这主要是通过测量不同方向下横梁承载面的变形数值所得到的[3]。实验中主要是通过水平仪测量横梁的变形值。通过有限元分析，并结合横梁实际矫正参数，从而获得曲线，然后利用曲线作为加工依据。在使用铣床时，将横梁平方，从而消除重力对加工的影响，加工之后测量承载面在不同方向的数值变化。测量结束之后即可将横梁侧放，并使用立柱丝杠模拟实际加工状况，并在横梁稳定之后测量数据，从而获得自重变形曲线。

1.2 基于有限差分法的重力变形模型

（1）建立筒支梁变形力学模型：通过力学计算方法对模型进行简化，同时根据铣床工作的实际情况以及约束条件，将横梁简化为支梁，从而将重力均匀施加在横梁上，从而得到简化的力学模型[3]。文章所研究的对象为大跨距的横梁，跨高比>5，在实际计算中可以利用近似微分方程来计算横梁弯曲变形，可以得到以下公式：（x）=。其中X代表横梁的坐标值，（x）所代表的是重力作用下的变形曲线，M（x）所代表的是弯矩，E代表的是弹性模量，而I（x）代表的是惯性矩在横梁截面上的分布情况。（2）建立固支梁扭转变形力学模型：刀架在横梁上移动时，除了会发生弯曲变形，还会出现扭转变形。通过计算刀架位置的转角，并将其转变为转动偏距从而获得横梁的扭转变形曲线[4]。根据铣床工作状况以及约束条件，将横梁简化为两端固定的筒粱。通过自由扭转变形原理可以获得以下公式：θ（x）=α（x）=。其中θ（x）所代表的是横梁发生扭转变形时的角度，而T（x）所代表的是扭矩，IT（x）所代表的是极惯性矩，G代表的是材料所承受的剪切力模量。由于横梁在扭转时会出现扭转变形，并且根据上述公式获得以下公式：Z1（x）=θ（x）·。其中Z1（x）所代表的是扭曲变形影响下刀尖点的位移模量，代表的是刀尖点偏移量。（3）横梁重力变形建模：考虑到有限元计算重力变形曲线不准确的问题，主要是由于横梁中不同结构造成的材质不均一性引起的，因此文章主要通过离散化模型的构建，从而进行横梁材质计算[5]。将横梁以一定比例分为不同节段，第i个节段代表xi，可获得公式xi=x0+ih，i=0，1，2，3，……，n-1。其中h代表步长，h=2L/n；x0代表起始节段。根据横梁弯曲变形的相关理论，根据二阶导数的差分理论，可以建立模型：，其中zb0代表各阶段弯曲变形，Mi代表节段i所承受的弯矩，（EI）i代表节段i的抗弯刚度。

1.3 当量抗弯刚度的计算

为了让有限元分析结果更加接近实际数值，需要集合实际情况下横梁各节段的抗弯刚度值，但是实际测量难以获取[6]。因此需要通过计算的方式进行分析。通过整理上述公式，可以得到當量抗弯刚度的计算公式为：

2 横梁重力变形的有限元仿真

重型龙门铣床的主要结构是由横梁、立柱、滑枕、刀架等部分组成的，因此在仿真计算之前需要定义各部位的材料属性。例如横梁的主要材料为铸铁，密度一般为7400kg·m3，弹性模量为110GPa，泊松比为0.3；刀架和立柱的主要材料同横梁，参数也相同；滑枕的材料多为45号钢，密度一般为7800kg·m3，泊松比为0.28。根据横梁的实际装配情况，通过在丝杠上施加圆柱面来限制横梁的自由度。横梁的荷载为全局重力荷载。

有限元仿真结果：通过仿真计算重力变形曲线，结合实际测试情况，将横梁分为两部分，并对不同部分刀架刀尖点的位移与变化进行记录，每隔460mm计算一次变形状况。根据横梁与刀架重力作用下造成的刀尖点变形数据能够绘制变形曲线，如图1所示。

3 基于有限差分法的横梁重力变形曲线计算结果

由于铣床加工时受到不同作用力的影响，需要考虑到弯曲变形与扭转变形。而两种模型的校正方法不同，需要将两者分离校正。根据材料力学相关知识分析，横梁截面中存在一扭心，扭心位置若出现弯曲变形则与横梁截面有关，反之则无关。为了将两者有效分离，需要利用仿真软件进行模型建立，从而获得弯曲部位的变形曲线图。

G10项精度主要是在车间内测试，不用考虑到温度影响。此项测量方法主要是利用千分表进行测量的，上架的平尺主要是用于保持与横梁平行，在刀尖点固定千分表，并让刀架在千分表范围内移动，每移动200mm就进行千分表读书的记录，从而计算G10精度曲线。经过实验发现，横梁移动刀尖点误差下降了26.54%，计算精度提高了21.3%，证实了该方法的科学性。利用有限差分法进行横梁重力变形曲线计算方法能够有效提高横梁的实际变形情况；对于材料相同的横梁，由于有限元仿真的精度已经非常高，则使用本文采用的方法的效果不是非常显著。文章所进行的实验还比较粗糙，有待进一步更大数据、更精数据的实验证实。

4 结语

文章主要基于有限差分法对重型龙门铣床大跨距横梁重力变形曲线进行分析，从而提高铣床的G10项精度，从而有效提高计算效率，减小安装成本。

参考文献

[1]郑彬，殷国富，黄辉，等.重载大跨距横梁弯曲变形分析与补偿[J].振动.测试与诊断，2014，34（02）：274-279+396-397.

[2]韩振宇，王瀚，邵忠喜，富宏亚，姜辉，王伟顺.基于有限差分法的重型龙门铣床大跨距横梁重力变形曲线计算方法[J].计算机集成制造系统，2016，22（06）：1494-1502.

[3]温建刚.大跨距带式转载机中间架截面的优选分析[J].煤炭工程，2010，（01）：105-107.

[4]陈斯炮，李锻能，江涛，卢林高.大跨距龙门五面体机床横梁最大工作载荷分析[J].机电工程技术，2009，38（09）：89-92+162.

[5]邹麒，黄敦新，何挺.基于ANSYS某自动化机械手大跨距支撑横梁的结构分析[J].机电工程技术，2015，44（02）：43-45.

[6]刘传伦，张胜文，朱成顺.双横梁高速龙门铣床的静动态特性分析研究[J].组合机床与自动化加工技术，2013，（12）：37-40.