构建微观模型 巧解物理难题

郑 金

(凌源市职教中心,辽宁 朝阳 122500)

原题.当金属的温度升高到一定程度时就会向四周发射电子,这种电子叫热电子,通常情况下,热电子的初始速度可以忽略不计.如图1所示,相距为L的两块平行金属板M、N接在输出电压恒为U的高压电源E2上,M、N之间的电场近似为匀强电场,a、b、c、d是匀强电场中4个均匀分布的等势面,灯丝K与M板的距离很近,电源E1给灯丝加热而产生热电子.电源接通后,电流表的示数稳定为I,已知电子的质量为m、电荷量为e.求: (1) 电子到达N板瞬间的速度; (2) 电子从灯丝K出发到达N板所经历的时间; (3) 电路稳定的某时刻,M、N之间运动的热电子的总动能; (4) 电路稳定的某时刻,c、d两个等势面之间具有的电子数.

图1

文献[1]利用微元法进行解答,得出正确结果,但认为各相等时间间隔内的电荷量相等;文献[2]利用微积分方法进行解答,也得出正确结果,但认为两极板之间的电流是恒定电流.那么在两极板之间各相等时间间隔内的电荷量是否相等?两极板之间各处的电流是否恒定?这是首先要解决的问题.

各电子在匀强电场内做初速度为0的匀加速直线运动,则动能从左到右是逐渐增加的,在左极板附近电子的动能为0,在右极板附近电子的动能最大.由于灯丝在单位时间内定向发射热电子的数量是一定的,因此在各相等时间间隔内通过各等势面的电荷量相等,所以在极板间各等势面处的电流恒定,等于电子到达N板时形成的电流即外电路中的电流I.这与串联电路中各处的电流相等是一致的.有一种观点认为,电子刚离开灯丝时的速度几乎为0,因此在灯丝处形成的电流几乎为0,电子到达N板时速度最大,因此在N板处形成的电流最大为I,即认为极板间各处的电流强度与电子的运动速度有关,这是错误的.

由于在同一时刻通过同一等势面的各电子的速度相同,因此通过每个等势面的电子的总动能为

在电路稳定的某时刻,M、N之间运动的热电子的总动能等于各等势面上的热电子的动能之和,即

图2

点评:解题关键是将同一时刻极板间所有的热电子平均分布到各等势面上并算出个数,由此导出同一等势面上的热电子的总动能关系式,而每个等势面对应一个时刻,这就可利用位移-时间图像及抛物线的性质求出各时刻位移的平均值,从而得出某时刻所有热电子的总动能.

其实,对于文献[2]中的(4)式

将微分方程两边取积分运算可得相同结果.

那么,整个系统的能量变化是否遵循能量守恒定律呢?下面进行验证,即在时间tm内,电流做的功全部转化为所有热电子的动能.

在原来的这些电子加速的过程中,由于灯丝源源不断地发射电子,因此在时间tm后两极板之间的电子分布又达到初始状态,而新来的这些电子的动能也为Ek总,即各电子的速度由0增加到0～vN之间的各个数值,则动能增量为ΔEk2=Ek总-0.

虽然两极板间的电子做匀加速直线运动,但通过各等势面的电流相等,而且都等于外电路的电流I,认识到这一点很重要,在此基础上,对于第(4)问可迎刃而解,只要利用匀变速运动的位移公式求出电子先后通过c、d两个等势面的时间,即可求出两个等势面之间具有的电子数.

参考文献：

1 彭立君.例谈物理解题中似是而非的“平均值”[J].物理教师,2017,38(6):96-封三.

2 崔琰.对高三物理一道电学题答案的质疑[J].物理教师,2017,38(4):78-79.