基于状态变换法的车辆悬架系统时滞反馈控制

闫 盖，方明霞，董天夫，纪仁杰

（同济大学航空航天与力学学院，上海 200092）

0 引 言

车辆乘坐舒适性的提高一直是业内专家学者致力研究的问题，从外部条件分析对车辆振动的影响，到对悬架刚度阻尼参数的最优匹配设计，一定程度上提高了悬架的减振性能[1-5]。近年来，车辆主动/半主动悬架是研究的热点，它主要是根据车辆行驶状况，通过作动器对系统施加控制力，实现车辆行驶平顺性和安全性提高的目的[6-13]，而车辆悬架主动/半主动控制系统中，由于信号采集、传输、控制器计算、作动器作动等因素，固有时滞不可避免，且研究发现时滞对系统控制的影响极大，甚至导致系统失稳发散[14-16]。为了提高控制精度，出现了大量时滞消除补偿技术，文献[17]采用随机预瞄控制策略对车辆主动悬架进行研究，发现即使很小的时滞也可能导致系统控制效率降低，甚至使系统出现不稳定现象；文献[18]采用平均法对含时滞的汽车半主动悬架进行研究，得到系统出现不稳定运动的条件和临界时滞，发现系统稳定性随着时滞会发生周期性变化；文献[19]采用时滞天棚开关控制策略，研究半主动悬架时滞渐进稳定性机理，获得时滞对半主动悬架系统动特性及动态稳定性的影响规律；文献[20]研究了磁流变减振器半主动悬架，测量了磁流变阻尼器的响应时间，以常微分方程理论求得系统临界时滞，并应用Smith预估控制设计时滞补偿控制器，改善了车辆半主动悬架性能；文献[21]通过数值方法研究了时滞对铁道车辆平顺性、稳定性和安全性的影响。文献[22-23]采用离散最优控制和离散变结构控制方法研究多时滞问题，理论和试验结果均表明采用时滞控制律可以有效抑制梁和板的振动。文献[24]发现时滞可以改变饱和控制的有效频带范围，将其作为控制参数可有效抑制系统振动。

由于控制过程中时滞量非常小，对时滞控制系统进行试验验证有较大难度，因此目前时滞消除补偿技术主要采用数值方法进行研究，难以从根本上解决系统稳定性问题，且对于处理大时滞问题具有一定的局限性。为此，本文采用理论与试验相结合的方法对含时滞的半主动悬架系统动力学特性进行研究，分析时滞参数对悬架系统控制稳定性及响应特性的影响，采用状态变换方法设计时滞反馈最优控制器，最后利用试验方法对研究结果的有效性进行验证。

1 车辆悬架系统时滞动力学模型建立及响应分析

1.1 悬架系统时滞动力学模型

车身垂直振动是影响车辆行驶平顺性的主要因素，由于车辆结构复杂，本文研究中忽略车身的俯仰运动和侧倾运动，以赛欧轿车悬架系统为基础，以磁流变阻尼器作为作动器，将系统简化为考虑时滞的 2自由度四分之一悬架半主动控制模型，其简化模型如图1所示。

图1 悬架控制系统模型图Fig.1 Suspension control system model

利用第二类拉氏方程，得到悬架系统的动力学方程如下：

式中 ms为簧载质量； mw为非簧载质量； ks、 cs分别为悬架刚度和阻尼；kt、ct分别为轮胎刚度和阻尼；xs、xw分别为簧载质量位移和非簧载质量位移； u（ t- τ ）为控制力；τ为悬架控制系统中的固有时滞； xg为路面不平度。

选取状态向量为 x = []T，输出量为y=，得到系统的状态方程为:

式中

1.2 含时滞悬架系统时域响应分析

悬架系统的控制目标是提高车辆行驶平顺性和操纵稳定性，即尽可能地降低车身垂向振动加速度、轮胎动载荷和悬架动行程性能指标，同时要求实现控制目标的能量最小。因此，根据二次型最优控制方法，取目标函数为：

式中 q1、 q2、 q3和r分别为车身垂向振动加速度m/s2、悬架动行程m、轮胎动载荷N和控制力N的加权系数。加权系数的大小表示性能指标在悬架设计中的重要程度，选取时需综合考虑悬架的安全性和舒适性。

在传统二次型最优控制下可得 u（ t） = - K x（ t），参照赛欧轿车悬架系统参数，仿真计算时取悬架系统及控制参数为 ms= 1 36.05kg， mw= 2 4.288kg， ks= 1 0 200N/m，ks= 9 8 000 N/ m ，ct=15 N·s/m， cs=153.11 N· s/m，q1=1000 000,q2=800，q3=70，r= 0 .3，利用matlab/ simulink建立悬架系统仿真模型，在确定性激励 xg= 0 .004sin（2π ft ） 、f= 5 Hz下进行仿真计算。

由于控制过程中时滞量相对较小，本文在0.2 s内任意选取多个时滞量进行仿真计算。为了便于与无控制及后文的试验结果相比较，图2给出了无控制及τ=0、0.010、0.014 3、0.065s时系统的响应结果。为便于观察，图中纵坐标没有取到最大值。

图2 传统二次型最优控制下系统时域响应Fig.2 Response of system under traditional two degree optimal control

从图2可以看出，当τ=0、0.01 s时，簧载质量加速度幅值稳定，分别为1.56、1.92 m/s2，因此传统二次型最优控制可以保持控制系统稳定，相比无控制时簧载质量加速度幅值2.70 m/s2亦有减振效果；但当 τ = 0 .0143s时，簧载质量加速度随时间逐渐增大，5 s时可增加至10 m/s2，而且随着时间增大，加速度继续增大，当τ = 0 .065s时，簧载质量加速度在很短时间内超过了 10 m/s2，5 s可达1017，因此传统二次型最优控制无法保证系统稳定性，导致控制后系统发散，这对系统结构具有极大的损害。因此，在系统控制中必须考虑时滞因素的影响。

2 车辆悬架系统控制稳定性分析

在控制中，信号采集传输、控制计算及作动器作动延迟，时滞因素必然存在，从1.2节仿真结果可知当系统时滞较小时，传统二次型最优控制可以满足控制要求，但当系统时滞较大时，系统可能会失稳发散。事实上，系统时滞稳定性可以通过常微分方程理论进行求解。

2.1 系统时滞稳定区间的理论分析

根据常微分方程理论[25]，方程（1）的特征值为λ时，方程解的形式可表示为

令反馈增益 K =[g1, g2, g3, g4]，则：

将式（4）、（5）代入式（1），并根据非零解条件可得系统特征方程为：

式中

根据李雅普诺夫稳定性判据[26]，系统实现稳定的条件是式（6）所有根均有负实部，因此系统失稳的临界条件是式（6）仅有纯虚根iwλ=，其中w是系统自激振动下的基频。将λ代入式（6），运用欧拉公式分离方程实部和虚部，得到系统仅有纯虚根的条件为：

由 s in2（wτ ） + c o s2（wτ）= 1可得到关于w的方程如下：

式中0a、2a、4a、6a、8a分别是与悬架系统参数相关的多项式系数。

在matlab平台上求解，可得精确解cw，将其代入到方程（7）可获得悬架系统失稳的临界时滞量cτ。

式中

现用0l表示方程正实根的个数，当反馈增益1K取一定值时， l0的大小取决于方程系数 ai( i = 0 ,2,4,6,8)。当l0= 0，方程无正实根，系统不发生稳定性切换。当 l0≠ 0 ，方程正实根为{wc1, wc2,......,wcl}，每个 wcm(m = 1 ,...,l)对应着无限多个 τcn(n =1,2,… ∞)。当τc从τcn-ε增加到τcn+ ε （0 ＜ ε≪ 1 ,n =1,2,… ∞ ），方程特征根的变化趋势由下式确定：

RT=+1表示τc从左至右穿过临界值τcn时，特征方程不稳定特征根的数量增加2个，RT=-1 表示τc从左至右穿过临界值τcn时，特征方程不稳定特征根的数量减少两个。基于以上的特征值分析，可以得到系统在一定反馈增益下时滞稳定和不稳定区间[27-28]。

利用2.1节中所取参数，在传统二次型最优控制律下，得到4个w值，分别为 wc1= 1 .784 7 r ad/s， wc2= 1 6.600 4 r a d/s，wc3= 3 1.3055rad/s， wc4= 9 7.697 3rad/s，每个w值对应于无数个临界时滞量，分别为 τc1= 0 .0558+3.520 6n1，τc2= 0 .014 3+0.3785n1， τc3=0.024 2+0.200 7n1，τc4=0.019 9+0.064 3n1（n1=1,2,…∞，单位为s）。依据特征值分析方法获得在反馈增益 K1下系统的时滞稳定区间为（0，0.014 3 s），时域响应仿真结果也说明了该稳定区间的正确性，为了进一步说明结果的正确性，下文从系统频域特性进行分析。

2.2 含时滞车辆悬架系统频响特性

根据频域响应求解过程，对悬架系统进行求解，通过对方程（1）进行傅里叶变换可得

式中

由式（11）可得路面激励对簧载质量位移的幅频特性为：

取1.2节中系统参数，根据式（12）仿真可得不同时滞量对系统幅频特性影响的曲线，如图3所示。

图3 时滞对系统幅频特性的影响Fig.3 Influence of time delay on amplitude frequency characteristics of system

从图3可以看出，与控制中无时滞（τ=0）相比，当控制时滞τ=0.01、0.0143s时，一阶主振型振幅随着时滞的增大而增大；当时滞 τ = 0 .065s时，系统的一阶振型振幅虽有所减少，但幅频特性曲线出现多个峰值，说明系统实际控制力与理想控制力不同步，系统出现“轮跳”现象，影响车辆行驶安全性。因此时滞对系统的控制效果影响极大，设计控制器时必须考虑时滞因素的影响。

3 车辆悬架系统时滞反馈控制

3.1 时滞反馈控制律设计

本文采用状态变换方法[29-31]对含时滞的半主动悬架进行变换，再利用最优控制理论设计系统时滞反馈最优控制律，以保证含时滞悬架系统的稳定性。针对含时滞的状态方程（2），进行如下积分变换，令

式（13）左右两边对时间t求导可得

将式（14）其代入方程（2）可得：

式中 B = e-AτB，从式（15）可以看出，变换后系统为不1显含时滞的状态方程，控制目标函数不变，利用二次型最优控制方法可获得其时滞最优控制律为：

式中= R-1(+ NT)，其中P~为下式Riccati方程的解。

由式（13）和（16）可以看出，控制律中包含时滞τ和积分项，控制时积分项要通过计算获得。设采样周期为T，将时滞量表示为τ= l T - m ，其中l为大于0的正整数，m为小于T的非负 数 ， 采 用 零 阶 保 持 器 ， 即 当kT ≤t ＜ （ k + 1）T 时 ，u（ t） = u （ kT），所以当t = k T时，积分项可变换为

采用m= 0 进行分析，此时时滞量是采样周期的整数倍，式（19）可表示为：

式中 G （ t）可通过下式进行迭代计算：

当t给定时， G （ t）将于有限步趋于常数矩阵[32]。

3.2 车辆悬架系统时滞反馈控制仿真

通过matlab/simulink平台，取1.2节中系统参数，在确定性激励 xg=0.004sin(2πft)、 f = 5 Hz下进行仿真计算，当系统时滞量为τ=0s时，时滞反馈控制退化为传统二次型控制，系统控制响应结果同图 2中固有时滞为0 s时结果；当 τ = 0 .010、0.0143、0.065s情况下，系统时滞反馈控制时域响应结果如图4所示。

图4 时滞反馈控制系统时域响应Fig.4 Response of system with time delay feedback control

从图 4看出，在时滞反馈控制下，在 τ = 0 .010、0.0143、0.065s情况下，簧载质量加速度幅值稳定，分别为1.46、1.98、1.40 m/s2，因此，时滞大小不影响系统的稳定性，系统均保持稳定，克服了传统二次型最优控制无法保证时滞系统稳定性的问题，且与图 2中无控制情况下相比亦有减振效果，降幅最大为48.15%。

4 试验验证

4.1 试验系统参数

以 Lord公司磁流变阻尼器 RD-1005-3为控制作动器，采用加速度信号反馈搭建了悬架时滞试验平台，试验系统如图 5所示。振动控制器产生激励通过功率放大器、振动台作用于悬架模拟装置，采集卡采集 3个加速度传感器信号，传输至 PXI8196工控机，通过前文中控制算法程序计算获得控制力，并由输出卡、接线盒将其传输至磁流变阻尼器控制装置，进而实现系统减振。

悬架试验系统簧载质量及非簧载质量通过称量获得，刚度参数通过厂家定制，由厂家通过专业测量仪器测量获得，阻尼参数通过利用传递函数法对参数识别获得，主要参数如下：ms= 1 36.05kg，mw= 2 4.288kg，ks=10200 N/m，kt= 9 8000 N/m，ct= 1 5N·s/m，cs=153.11 N·s/m τ= 0 .065s，其中，时滞τ通过基于时域信号方法进行辨识，结合文献[4]中磁流变阻尼器响应时滞辨识结果最终确定。

图5 悬架时滞试验系统Fig.5 Suspension time delay test system

4.2 试验结果与分析

为了验证时滞反馈最优控制律设计的有效性，对含时滞 τ = 0 .065s悬架系统进行试验与仿真。试验时由振动控制器产生确定性激励 xg=0.004sin(2πft)、 f = 5 Hz作用于悬架模拟装置，通过采集、计算获得系统输出响应信号，并将其导入至Matlab平台中作图；仿真时采用与试验相同的工况和参数。试验和仿真所得系统输出响应时程曲线如图6所示。

对比图2和图6可以发现试验与仿真均有较好的减振效果，簧载质量加速度从无控制的2.70 m/s2约下降到1.50 m/s2，降幅为44.44%，且系统均保持稳定。试验所得簧载质量加速度幅值约为1.58 m/s2，比仿真结果1.40 m/s2略大，误差为12.56%，悬架动行程和动载荷误差分别为3.28%、12.39%，但误差在15%以内，一般工程计算误差可以取到 20%，甚至更高[33-35]，所以本文误差满足工程要求，说明试验结果与仿真结果具有较好的一致性。

图6 时滞反馈控制下系统试验与仿真响应Fig.6 Experiment and simulation results of the system with time delay feedback control

5 结 论

本文以 2自由度含时滞悬架系统为研究对象，利用试验、理论和数值相结合的方法，研究了基于状态变换的悬架系统时滞反馈控制特性，获得以下主要结论：

1）建立了含时滞车辆2自由度悬架动力学模型，仿真和理论分析均表明采用传统二次型最优控制律对系统进行控制，可能会使系统定性特性发生改变，当系统固有时滞较大时，系统甚至会失稳发散，根据文中所取悬架和控制参数，在固有时滞为0.0143 s时系统就开始控制失稳发散。

2）通过积分变换思想和最优控制理论设计了车辆悬架时滞反馈最优控制律，仿真和试验结果均表明该控制律始终可以保证系统稳定，与无控制系统相比，簧载质量加速度从2.70 m/s2约下降到1.5 m/s2，降幅为44.44%，减振效果明显。

3）以磁流变阻尼器为作动器搭建了悬架时滞控制试验平台，采用基于时域信号辨识的方法获得了系统时滞约为 0.065 s，相同工况下试验与仿真结果具有较好的一致性，簧载质量加速度、悬架动行程、轮胎动载荷试验与仿真误差分别为12.56%、3.28%、12.39%，误差在15%以内，验证了研究结论的有效性与正确性，为悬架减振提供了有效的控制方法，具有重要的工程应用价值。

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