SIR无标度网络模型稳定性及免疫控制策略

王晶囡 逯兰芬 高旭 许云中 丁悦航

摘 要：为了研究疫苗免疫和群外个体迁入对SIR型传染病传播行为的影响，在复杂网络上建立了一类含有免疫作用的SIR传染病模型，讨论了具有齐次性质的SIR复杂网络平衡点稳定性和具有非齐次性质的无标度网络（度分布关联和度分布不关联）染病平衡点的存在性，从中得到了3种情况的染病临界值，根据临界值讨论了比例免疫和目标免疫策略优缺点，为控制病毒传染提供了的理论参考。

关键词：无标度网络；稳定性；传染病模型；临界值；免疫

DOI：10.15938/j.jhust.2018.02.026

中图分类号： O175；O193

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2018）02-0144-05

Abstract：In order to study the effect of the vaccine immunization and the individual immigration on the spread behaviors of the SIR epidemic， the SIR epidemic model for complex networks is constructed. The equilibrium stability of complex networks with homogeneous characteristics and the existence of epidemic equilibriums of scale-free network with non-homogeneous （when the node degrees distribution are related and when the node degrees distribution）are discussed. The epidemic critical threshold values under three different conditions are obtained. Based on the epidemic critical thresholds values， the advantages and disadvantages of uniform ratio immunization and targeted ratio immunization are compared，which presents the theoretical reference for controlling viral infection.

Keywords：scale-free networks； stability； epidemic model； threshold value； immunity

0 引 言

有些病毒性传染病的传播范围广，速度快又无法被有效治疗，对人类生命造成严重威胁，有效控制传染病的传播现成为急需解决的问题之一。据世界卫生组织（WHO）在2015年1月27日发布的最新报告显示，在全球范围内，感染埃博拉病毒病例为22057例，死亡人数上升至8795人；感染沙特冠状病毒导致死亡人数也已达到400多人。因此，对这些病毒性传染病的发病机理，传染规律及防治策略的研究就显得尤为重要。

病毒的传播可以看作是服从某种规律的网络传播行为。21世纪初，人们利用节点和连接节点的连线，建立了可以描述传染性疾病传播的复杂网络。最常见的均匀网络是小世界网络[1]，该网络节点数不变，可以增加或减少少量的随机捷径，即每个节点的度都围绕平均值上下波动；而无标度网络[2]模型揭示了原有网络的连线不变，增加新节点数目以及新节点与原有网络结点的连线来改变原有网络的拓扑结构。科学家们发现有些病毒性传染病的传播是由于其周围环境的不同（即能接触到传染病人的数量可能会相差很大）会导致被感染的概率不同，这种传播特点符合无标度网络的范畴。

近些年，将复杂网络应用到传染病的研究已受到了人们的极大关注，例如文[3]在研究具有齐次性质的susceptible-infected- removed （SIR）传染病网络系统时，发现当传染率比传染临界值大时，染病者会在人群中占有一定比例，当传染率小于传染临界值时，疾病最终会消失；文[4]在文[3]的基础上考虑了通过接种疫苗来降低被感染的几率，建立了具有免疫作用齐次性质SIR模型的复杂网络（所有结点的度都服从一个常数k的指数分布），该模型如下：

此外，文[4]还利用非齐次性质（度分布不服从指数分布， 如幂分布）的复杂网络（模型如（2）所示），讨论了免疫作用以及非齐次性质对疾病传播的影响，说明了通过接种疫苗确实可以起到预防和控制疾病传播的作用。

文[5]在无标度网络上建立了一类SEI1I2R的传染病模型，研究了无限维无标度网络中的传播阈值，证明了无病平衡点的稳定性与疾病的一致持续生存性，得到了目标免疫好于比例免疫的结论。

文[6]研究了一类现实复杂情形下SIRS型传染病模型的无病平衡点与地方病平衡点的唯一存在性，渐近稳定性及传染病综合控制策略，本文在文[4-6]的基础上，将种群分为易感个体S，染病个体I，康复个体R，考虑到非线性传染率、群外个体迁入、生育与死亡以及疾病可水平和垂直传播等因素，来研究病毒性传染病传播的规律。

1 具有免疫功能齐次性质的无标度网络

本文考虑会有新的易感个体输入到此种群中，引入易感个体的輸入率As，种群内会有出生率b∈[0，1]和死亡率d∈[0，1]，（d>b），虑考遗传因素，假设康复个体R仅生育康复个体R，易感个体S仅生育易感个体S，感染病毒的人群在患病期间痛苦不堪，不会考虑生育后代，即假设染病者不会生育孩子（如麻风病）。用λ表示传染病通过有效接触进行传播的传播系数，k为单位时间内接触的人数。γ为治愈率，γ∈[0，1]。考虑到染病者与易感者、康复者的死亡率可能不同，因此用d-∈[0，1]表示染病个体的死亡率。a为免疫接种的比例，则可以得到如下的动力学模型：

2 具有免疫功能非齐次性质的无标度网络

在复杂网络中，无标度网络可以极好地演绎病毒性疾病的传播情况，本文根据文[4]和文[5]的研究方法，建立一个SIR免疫无标度网络模型来研究疫苗免疫对病毒性疾病在非齐次性质的无标度网络中传播的影响。

现令Sk（t），Ik（t），Rk（t）分别为在t时刻易感染者、感染者、移出者在度為k的个体中占有的比例，Θ（t）表示任选一条连线指向感染者的概率。病毒传播流程图如图1所示。

根据流程图1，可得到如下所示的无标度网络SIR免疫模型：

2.1 度分布不关联

度分布不关联时，任选网络中一条连线指向感染者的概率如下：

3 传染病控制方法与免疫策略

病毒性传染病爆发的特点是来势凶、危害大、传播广、社会影响大。人类一直与各种传染性疾病斗争。随着交通运输水平的大幅提升，染病者可以在短时间内到达许多地方，若没有做好预防措施，危害不可小视。因此，传染病的预防与控制在现代生活中显得尤为重要。

通过免疫方法来抑制病毒传播是人们所关心的话题，采用的免疫策略不同，得到的免疫效果也不同。下面根据前面所得到的理论分析，来比较一下均匀比例免疫策略和目标比例免疫策略的效果。

3.1 免疫策略的比较分析

本文第1部分所研究的齐次性质复杂网络模型（3）所描述的是在均匀网络上采用均匀比例免疫的数学模型，即指从网络中随机的选取一定比例的节点进行免疫，对网络中度大的节点和度小的节点平等对待，没有考虑网络中节点间的差异。

本文第2部分研究的非齐次性质的无标度网络模型（7）所描述的是目标比例免疫，即网络中各节点的度不均匀，可以对这些节点采取有目标的免疫，选取少量度较大的节点进行免疫，而在复杂网络中，一旦该节点被免疫，则可以把与这些节点连接的边删除，其余节点不会传染免疫节点，被免疫节点更不会传染其他节点。被删去的节点都是网络中度较大的，删去的边也多，故大大减少了病毒的传播途径。在无标度网络中，目标比例免疫的免疫临界值与无标度网络中新节点加入新连接的边数相关。传播率在很大范围内取不同值时，与均匀比例免疫相比，可以得到较小的免疫临界值。相对于均匀比例免疫，目标比例免疫在现实实行起来也更容易[8]。

为更直观描述这两种免疫策略的免疫效果，根据本文对传染临界值λc，λ-c，λ～c算出的结果及在文[9-10]的基础上，得到的结果如表1所示。

3.2 传染病控制其他方法

考虑到现实世界中的传染病传播[11-16]和控制过程[17-20]中存在下列情形：①疾病可通过水平和垂直传播；②群内个体会生育；③群内个体有死亡（自然和非自然）；④对染病个体采取隔离措施但不完全到位；⑤群外易感个体迁入。根据本文模型中的主要参数，针对流行于人类的传染病的特点，经过分析可以从如下几个方面来控制病毒性传染病的传播：

1）接种疫苗：从本文计算出的传染临界值λ-c的表达式可以看出，若接种比例a变大，传染临界值变大。此时疾病需要跨越更大的传染临界值才能流行，这说明通过接种疫苗可以预防和控制疾病的传播。

2）提高治愈率：从本文计算出的传染临界值λ-c的表达式还可以看出，治愈率γ变大，传染临界值也可以变大，所以可以通过提高医学水平可以提高治愈率，从而控制疾病的传播。

3）增大隔离率：同样从本文计算出的传染临界值λ-c的表达式可以看出，引入易感个体的输入率As越小，传染临值就越大，也就是说通过控制人口流动，且对染病者进行有效隔离，可以减少易感者与感染者的接触率，减少易感者感染病毒的几率。

另外，传染病的流行需要合适的媒介，对生态环境进行改善，消除细菌赖以生存的因素，这些都对控制与预防流行性传染性疾病具有重要意义。

4 结 论

本文讨论了无标度网络上SIR传染病模型平衡点的存在性及其稳定性的，得到了一些在无标度网络上含有免疫SIR模型的动力学行为。在研究无标度网络具有非齐次性质时，分别讨论度分布关联和度分布不关联时的传染临界值。并根据传染临界值提出了控制传染病的方法，比如注射疫苗，提高治愈率，控制流动人口数量等。为有效抑制病毒传染提供了一定的理论依据。从均匀比例免疫和目标比例免疫的差异比较中，发现目标比例免疫策略优于均匀比例免疫。并根据得到的染病临界值提出了控制病毒传染综合策略。

参 考 文 献：

[1]史定华.无标度网络基础理论和应用研究[J].电子科技大学学报，2010， 39（5）：644-650.

[2]黄萍，张许杰，刘刚.小世界网络的研究现状与展望[J].情报杂志， 2007（4）：66-68.

[3]MORENO Y， PASTOR-SATORRAS R， VESPIGANI A. Epidemic out Breaks in Complex Heterogeneous Networks [J]. European Phys J B， 2002（26）： 521-529.

[4]张海峰，傅新楚.含有免疫作用的SIR传染病模型在复杂网络上的动力学行为[J].上海大学学报（自然科学版）， 2007，13（2）：189-192.

[5]杜雯，黄尧，娄洁.生殖器疣在无标度网络上的传播与免疫策略研究[J].生物数学学报，2014，29（2）：361-368.

[6]孙有发，郭旭冲，梁肖肖等.现实复杂情形下的SIRS型传染病模型及其控制策略[J].系统仿真学报，2010，22（1）：195-200.

[7]王文娟.无疾病潜伏期的传染病动力学模型的阈值和再生数分析[J].运城学院学报，2005，23（5）：12-14.