聪明人的三门问题

小五

三门问题又被称为蒙提霍尔问题，出自美国一个电视益智游戏节目，这个问题一被提出就引起了相当大的争议。

三扇门的诱惑

在一次有奖竞猜活动中，参赛者需要面对三扇门的诱惑。参赛者会看见三扇关着的门，其中一扇门的后面藏有一辆汽车，选中这扇门就可以获得汽车，而另外两扇门后面则各藏有一头山羊。虽然山羊和汽车一样都可以充当交通工具，但和汽车相比起来，山羊还是便宜了一些，所以参赛者的目标是——选中汽车。

当参赛者选定了一扇门但还未打开它的时候，知道门后情况的节目主持人打开另外两扇门中的一扇，出现了一头山羊。然后，主持人会问参赛者要不要改变主意选择另一扇关着的门。这时，参赛者就有这样的疑问了：换另一扇门是否会增加获得汽车的概率？

假设参赛者最初选择的是1号门，现在主持人打开了3号门，后面是一头山羊。如果你是参赛者，你会改变主意选择2号门吗？

对于这个问题，一位高智商女性玛丽莲·莎凡特给出了她的答案，她认为参赛者应该改变主意选择2号门，因为这个选择将会使他获得汽车的概率增加一倍。这个答案引起了轩然大波，因为它不合乎大多数人的直觉。

大部分人的直觉都错了

事实上，大多数人的回答都是“不改变主意，坚持选择1号门”。他们认为不应该更换选择，因为汽车在哪扇门的后面是不能改变的，无论改不改变选择，参赛者选中汽车的概率都是50%。所以，顺从自己最初的直觉会比较好。

玛丽莲给出自己的答案后，数千封投诉信纷至沓来。但很快，她漂亮地解释了自己的答案，让大家心服口服。她是怎么解释的呢？

参赛者选中一扇门时，有三种可能情况，它们的概率相等，都是1/3：

我们对比一下会发现，在后两种情况下，参赛者都可以通过更换选择而获得汽车。第一种情况是唯一一种参赛者更换选择会吃亏的情况，所以改变主意而获得汽车的概率是2/3。

我们还可以用逆向思维来理解：

无论参赛者开始的选择是什么，在被主持人问到是否更换时都选择更换。如果参赛者先选中山羊，那么更换后会获得汽车；如果参赛者先选中汽车，那么更换后会失去汽车。而选中山羊的概率是2/3，选中汽车的概率是1/3。所以选择更换是明智的，相对最初获得汽车仅为1/3的概率来说，改变选择可以增加获得汽车的可能性。

三门问题是一个老问题了，不过它在任何时候都能引起激烈的争论。总结一下，正确答案应该是：如果主持人事先知道哪扇门后面有山羊，并且她特意选择把有山羊的那扇門打开，那么参赛者应该更换选择另一扇门，这可以使获得汽车的概率从1/3 升到2/3。

升级！一百扇门的诱惑

换还是不换？大部分人之所以会左右为难，是因为他们常常把自己最初就选中汽车的概率想得太高。如果我们将三门问题升级一下，或许就好理解了。

现在，我们试试另一个挑战，我们将它称作“百门问题”。一百扇门中只有一扇后面藏有汽车，其余藏的都是山羊。请你先随心所欲选中一扇门。

选好了吗？假设你选了1号门。不过，你应该对这个选择不抱什么希望——能一次就选中汽车的概率太低了，只有1%的可能。这时，主持人将剩下99扇门中的98扇打开，它们的后面全是山羊。也就是说，汽车在没有被打开的1号门或37号门后面。

现在，给你一个机会，你会坚持选择1号门，还是改变主意选择那扇未被打开的37号门？

也许你认为这两扇门的中奖概率相同，那么我们可以从头开始计算一下。对于汽车被藏在哪里，有100种可能，并且它们的概率都是1%。

第1种可能：汽车在1号门后。你选择了1号门，选中汽车的概率就是1%。

第2种可能：汽车在2号门后。你选择了1号门，主持人会将3号～100号门打开，问你要不要改变主意。

第3种可能：汽车在3号门后。你选择了1号门，主持人会将2号、4号～100号门打开，问你要不要改变主意。

……

第100种可能：汽车在100号门后。你选择了1号门，主持人会将2号～99号门打开，问你要不要改变主意。

在这100种可能中，坚持选择1号门而获得汽车的概率只有第1种可能，在第2种～第100种可能中，只要改变主意，你就能获得汽车。主持人打开98扇门的做法，实际上是在告诉你：假如2号～100号门后面藏有汽车，那么它一定是在37号门的后面。如果你改变主意选择37号门，实际上是等同于直接选择了2号～100号门。也就是说，只要改变主意，获得汽车的概率就是99%。