基于Simulink的圆形限制性三体运动模型可视化

石云凤，张洪银，胡宇，杨洪明，梁攀

（1.西南科技大学数学与应用数学系，绵阳621010；2.西南科技大学信息与计算科学系，绵阳 621010）

0 引言

3个质点，在只有万有引力相互作用下的运动问题，就是三体问题。由于三体运动方程的非线性，使得其运动轨迹非常依赖于初值，初值改变那怕微乎其微，运动也会从周期性转化为混沌[1]。因此本文旨在通过建立三体问题的数学模型，再利用Simulink仿真软件，实现对地球、太阳和月球的圆形限制性三体运动的仿真，从而克服由于初值改变使得三体运动轨迹有较大变动的特点，便于观察三体运动的轨迹，得到三体运动的规律。

1 三体运动模型的建立

1.1 坐标系建立

可视为质点的三个天体相互作圆周运动,取质心旋转坐标系,且旋转速度等于两天体的圆周运动角速度。则质心在此坐标系中处于静止,三体在直角坐标系中的相对位置示意图如图1所示。

1.2 数学模型建立

当所讨论的三个天体中，有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比小到可以忽略时，这样的三体问题称为限制性三体问题。一般地把小质量的天体称为无限小质量体，或简称小天体，把两个大质量的天体称为有限质量体。由于小天体的质量被视为无限小，则它不影响两个有限质量体的运动。

图1 三体相对位置示意图

根据牛顿万有引力定理和牛顿第二定律，可以视为质点的两个天体之间产生的万有引力关系为：

式中M为天体一的质量，m为天体二的质量，G为万有引力常数，r为两个天体的距离。故在空间直角坐标系中，天体二在x轴方向上的加速度分量为：

式中，表示天体二与天体一的所在向量与x轴的夹角。同理可得天体二在y轴方向上的加速度分量与z轴方向上的加速度分量为：

各加速度的分量与天体二质心投影在x、y、z轴上的距离关系为：

本文在建立仿真系统时讨论太阳、地球和月球三体问题。由于太阳、月球和地球距离较远且质量分布较均匀，故可将它们视为质点。在仿真系统中，不考虑其他天体对该三体运动问题的影响。以太阳中心作为坐标原点，月球和地球的运动平面为xOz平面，根据右手法则确定y轴，建立空间直角坐标系。设太阳、月球和地球坐标分别为：(0 ,0,0)，(x2,y2,z2),(x3,y3,z3)，质量分别为M1,M2,M3。由于万有引力常量实际值太小，为了提高仿真效果，在建立仿真系统时可取G=1。

（1）子系统Gravity accelerations的数学模型：

月球的加速度在x，y和z轴方向的分量分别为：

地球的加速度在x，y和z轴方向的分量分别为：

由于地球的质量和月球的质量相对太阳质量来说太小，故太阳的加速度在x，y和z轴方向的分量均可取0，即：

（2）子系统Distance scaling中数学关系：

考虑到月球绕地球公转，同时为使仿真效果逼真，故对月球的空间坐标加以修正。根据实际情况取地球与月球质量的比例系数为k=49，故可得月球修正后的空间坐标：

2 仿真系统的建立

根据三体运动中建立的微分方程模型，本文利用MATLAB中的Simulink仿真软件建立仿真系统，如下：

图2 仿真总图

图3 Gravity accelerations子系统中的组件

图4 Distance scaling子系统中的组件

3 仿真结果与结果分析

通过查阅相关资料，结合实际，在仿真系统中设定初值如下表1。

表1 仿真系统中的初值

最终通过组件的运行计算，可在VR组件部分得到三体运动的仿真轨迹：以下是仿真结果的动态图形部分时刻的截图，如图5。

由图可清晰看到地球、太阳、月球三个天体在不同时刻的运动状态，实现了该三体问题的运动轨迹可视化。通过改变相应初值，还可方便看到该三体的运动状态的改变，非常地直观形象。

图5 三体仿真在不同时刻的运动图形

4 结语

一般三体问题的运动方程为十八阶方程,必须得到18个积分才能得到完全解。然而,目前还只能得到三体问题的10个初积分,还远不能解决三体问题[2]。通过利用Simulink仿真软件对太阳、地球、月球三体运动问题进行仿真，得到较为直观的三体运动模型，这种方法对于三体问题的研究有很好的效果。利用这样的方法，还可以对其他三体问题进行研究,从而得到更为直观逼真的三体运动过程。

参考文献：

[1]杨洁，姜付锦，邱为钢.三体问题的一种初等解[J].大学物理，2017，36（11）：70-72.

[2]徐卫青，陈朋，连磊,陈亮，谢欣欣.三体问题初探[J].中国高新技术企业，2007（05）：243+245.