二阶Emden-Fowler型变时滞中立型微分方程的振荡性

张晓建

(邵阳学院 理学与信息科学系, 湖南 邵阳 422004)

0 引 言

研究如下形式的二阶非线性广义Emden-Fowler型变时滞微分方程的振荡性：

[a(t)φ1(z′(t))]′+q(t)f(φ2(x(δ(t))))=0，t≥t0

(1)

其中，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),φ1(u)=|u|λ-1u,φ2(u)=|u|β-1u(λ>0,β>0为实常数)；a,p,q∈C([t0,+∞),R)；f∈C(R,R)且当u≠0时，uf(u)>0.并总假设以下条件成立：

(H1)a∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，且q(t)>0，p(t)≥0.

(H3) 当u≠0时f(u)/u≥L(这里常数L>0).

方程(1)的解及其振荡性定义可参见文献[1-2]. 由于时滞泛函微分方程在自然科学和工程技术中应用广泛，近年来，变时滞的中立型泛函方程的定性理论(特别是解的振荡和非振荡性、渐近性等)研究引起了国内外学者的极大兴趣[1-15]. 如黄记洲等[3]、曾云辉等[4]分别在条件

(2)

和

(3)

下研究了二阶Emden-Fowler型微分方程

{a(t)|[x(t)+p(t)x(τ(t))]′|λ-1[x(t)+p(t)x(τ(t))]′}′+q(t)|x(δ(t))|β-1x(δ(t))=0

(4)

的振荡性，得到了方程(4)的若干新的振荡准则. 值得注意的是，文献[3-4]有限制条件：

a′(t)≥0， 0≤p(t)<1，

(5)

本文可看作文献[1]或[5]的延续. 文献[1]在条件(2)下研究了方程(1)的振荡性，得到了方程(1)振荡的一些新准则，这些振荡准则改进了现有文献中的一些结果(如去掉了限制条件(5)，在λ≤β和λ>β时均有方程(1)的振荡准则，在特殊情形即λ=β时提高了精确度等). 文献[5]又在一定程度上改进了文献[1]中定理1的结论，得到以下结果：

定理[5]设条件(H1)～(H3)及式(2)成立，0≤p(t)≤p0<+∞(其中常数p0≥0)，若有函数φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，使得当λ≤β时，

(6)

当λ>β时，

其中，常数T≥t0充分大，η>0，

函数Q(t)及Ψ(t,t1)的定义如下：

Q(t)=min{q(t),q(τ(t))}，

t1≥t0，

则方程(1)是振荡的.

值得注意的是，由于受条件0≤p(t)<1的限制，文献[3-4]的结果不能用于下列方程(其中常数ρ0>0):

因为不满足条件(2)，所以文献[1,5]中的定理对上述方程也不适用.

本文的目的是利用广义的双Riccati(黎卡提)变换及不等式分析技巧，在条件(3)下建立方程(1)振荡的一些新的准则，以改进和丰富现有文献中的一系列结果.

1 方程的振荡准则

引理1[1]设A>0，B>0，α>0均为常数，则当x>0时，

(8)

定理1设条件(H1)～(H3)及式(3)成立，并且0≤p(t)≤p0<+∞(p0为常数)，如有函数φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))使得当λ≤β时式(6)成立，当λ>β时式(7)成立，并且

+∞，

(9)

函数

Q(t)=min{q(t),q(τ(t))}，

则方程(1)是振荡的.

证明反证法: 设方程(1)有一个最终正解x(t)(当方程(1)有一个最终负解x(t)时类似可证)，则存在t1≥t0，使得当t≥t1时，x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0. 由文献[1]或[5]中定理1的证明知，函数a(t)φ1(z′(t))严格单调减小且最终定号，从而z′(t)最终为正或为负，因此只需考虑下列2种情形：

(i)z′(t)>0(t≥t1)； (ii)z′(t)<0(t≥t1).

情形(i)z′(t)>0(t≥t1). 由文献[5]中定理1的证明知，方程(1)是振荡的.

情形(ii)z′(t)<0(t≥t1).

首先，定义函数v(t)为

(10)

则v(t)<0(t≥t1). 由于a(t)φ1(z′(t))=a(t)×[-z′(t)]λ-1z′(t)是单调递减，则有

a(τ(t))[-z′(τ(t))]λ-1z′(τ(t))≥

a(t)[-z′(t)]λ-1z′(t)，

即a(τ(t))[-z′(τ(t))]λ≤a(t)[-z′(t)]λ，

亦即

注意到z′(t)<0，于是由式(10)可得

(11)

其次，定义函数w(t)为

则w(t)<0(t≥t1)，用与上面类似的方法可得

(12)

由文献[1]或文献[5]中定理1的证明知，下式仍然成立：

-L0Q(t)zβ(δ(t))≤0.

于是，利用z(δ(t))≥z(t)，并综合式(11)和(12)，可得

-L0Q(t)zβ-λ(t)-

(13)

若λ>β，则由z(t)>0，z′(t)<0(t≥t1)知，z(t)≤z(t1)，即zβ-λ(t)≥zβ-λ(t1)=k.

若λ=β，则zβ-λ(t)=1.

若λ<β，则由a(t)(-z′(t))λ-1z′(t)单调减小，当s≥t1时，有

a(s)(-z′(s))λ-1z′(s)≤

a(t1)(-z′(t1))λ-1z′(t1)=-M，

在上式中令u→+∞，得

即

zβ-λ(t)≥kζβ-λ(t)，

其中k=M(β-λ)/λ>0是常数.

综合上述3种情形及函数π(t)的定义，由式(13)，有

(14)

上式两边同时乘以ζλ(t)，再从t1到t(t≥t1)积分，并利用ζ′(t)=-a-1/λ(t)及式(8)可得

即

(15)

此外，再次利用a(t)(-z′(t))λ-1z′(t)的单调递减性，对s≥t≥t1，有

a(s)(-z′(s))λ-1z′(s)≤a(t)(-z′(t))λ-1z′(t)，

即

两边对s从t到u(u≥t)积分，得

从而

令u→+∞，则有

因此，

于是由函数w(t)的定义知，

-1≤w(t)ζλ(t)≤0，t≥t1.

(16)

同理可得

-1≤v(t)ζλ(t)≤0，t≥t1.

(17)

结合式(16)、(17)，由式(15)得

这与条件(9)矛盾. 定理证毕.

定理2设条件(H1)～(H3)及式(3)成立，并且0≤p(t)≤p0<+∞(p0为常数)，如有函数φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))使得当λ≤β时式(6)成立，当λ>β时式(7)成立，并且

(18)

其中函数Q(t)，π(t)及ζ(t)的定义同定理1，则方程(1)是振荡的.

证明前面部分的证明完全同定理1，可得式(14)、(16)和(17). 现将式(14)两边同时乘以ζλ+1(t)，再从t1到t(t≥t1)积分，注意到ζ′(t)=-a-1/λ(t)，则有

ζλ+1(t)(-w(t))+ζλ+1(t1)w(t1)+

(19)

利用式(16)，可得

|ζλ+1(t)(-w(t))|≤|ζλ(t)w(t)|ζ(t)≤

ζ(t)<+∞，

类似地，利用式(17)，可得

于是，由式(19)得

这与条件(18)矛盾. 定理证毕.

例1考虑方程

(E)

其中ρ0>0为常数. 相当于方程(1)中a(t)=t2，

q(t)=ρ0，p(t)=1+sint，f(u)=u，τ(t)=δ(t)=t/2，λ=β=1，t0=1.显然有

现取φ(t)=t，t1=1，则

取T=3，则1/2≤Ψ(t,t1)≤1. 注意到L0=1，τ0=1/2，p0=2，于是，当ρ0>1.5时，

且

因此，由定理1知,当ρ0>1.5时方程(E)是振荡的.

注1实际上，上述计算还可进一步精确. 如取T=3.5，则0.6≤Ψ(t,t1)≤1，当ρ0>1.25时,

于是，由定理1知,当ρ0>1.25时,方程(E)是振荡的.

注2由于不满足条件(2)，因此文献[1,5,9-10]中的结论对方程(E)不适用，又因不满足条件0≤p(t)<1，则文献[3-4]中的结果也不能用于方程(E)，其他文献如[2,6-8]中的定理也不能用于方程(E).

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