中考“三角形”考点分析

考点1 三角形的三边关系

例1 （2017·淮安）若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（ ）.

A.14 B.10 C.3 D.2

【分析】已知三角形的两边求第三边时，依据“已知两边的差（长边减短边）<第三边<已知两边的和”构造不等式组求解.

解：设这个第三边长为a，根据“三角形三边之间的关系”得8-5

【点评】判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可.

考点2 三角形的内角和

例2 （2017·郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图1摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（ ）.

A.180° B.210° C.360° D.270°

【分析】题中已知一副三角板六个内角的度数，∠α、∠β是三角形的两个外角，要求∠α+∠β度数，可以考虑利用三角形的外角性质转化为三角板的内角度数来求解.

解：如图2，不妨设AB与DE交于点G，EF与AB交于点H，由三角形的外角性质可知：∠α=∠A+∠AGD，∠β=∠B+∠BHF，由于∠AGD=∠EGH，∠BHF=∠EHG，所以∠AGD+∠BHF=∠EGH+∠EHG=180°-∠E=180°-（90°-∠D）=120°，所以∠α+∠β=∠A+∠B+∠AGD+∠BHF=90°+120°=210°，故应选B.

【点评】在计算与三角形有关的角度时，首先应判断出待求角与已知角之间的关系，再合理选用三角形的内角和定理或外角性质求解.

考点3 全等三角形的性质与判定

例3 （2017·常州）如图3，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE.

（1）求证：AC=CD；

（2）若AC=AE，求∠DEC的度数.

【分析】（1）根据同角的余角相等可得到∠ACB=∠DCE，结合已知条件∠BAC=∠D， BC=CE，利用“AAS”可以证明△ABC≌△DEC，根据全等三角形的性质即可得证.

（2）根据∠ACD=90°，AC=CD，得到∠CAD=∠D=45°，又AC=AE，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求∠AEC的度数，然后依据平角的定义求∠DEC的度数.

（1）证明：∵∠BCE=∠ACD=90°，

∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，

∴∠BCA=∠ECD.

在△BCA和△ECD中，

[∠BCA=∠ECD，∠BAC=∠D，BC=CE，]

∴△BCA≌△ECD，

∴AC=CD.

（2）解：∵∠ACD=90°，AC=CD，

∴△ACD是等腰直角三角形，

∴∠DAC=45°，

∵AC=AE，

∴∠AEC=∠ACE=[12]（180°-∠DAC）

=[12]（180°-45°），

∴∠DEC=180°-∠AEC

=180°-[12]（180°-45°）

=112.5°.

【点评】证明两条线段相等或两个角相等时，通常采用的方法是证明这两条线段或这两个角所在的三角形全等.

考点4 等腰三角形的性质与判定

例4 （2017·连云港）如图4，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F.

（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；

（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.

【分析】（1）根据全等三角形的判定定理“SAS”可以证明△ABE≌△ACD，然后利用全等三角形的对应角相等即可得证；（2）由AB=AC，得∠ABC=∠ACB，又根据（1）的结论可得∠ABE=∠ACD，则∠FBC=∠FCB，由等角对等边可得FB=FC，依据垂直平分线的判定即可证明结论.

（1）解：∠ABE=∠ACD，理由如下：

在△ABE和△ACD中，

[AB=AC，∠A=∠A，AE=AD，]

∴△ABE≌△ACD，

∴∠ABE=∠ACD.

（2）证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

由（1）可知∠ABE=∠ACD，

∴∠FBC=∠FCB，

∴FB=FC，

∵AB=AC，

∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC.

【点评】在三角形中，证明两条线段或两个角相等时，如果线段或角在同一个三角形中，则先考虑用“等边对等角”“等角对等边”来证明.

考点5 勾股定理及其逆定理

例5 （2017·安顺）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于

.

【分析】先根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解

解：∵32+42=25=52，

∴该三角形是直角三角形，

∴最长边上的中线长=[12]×5=2.5.

【点评】勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形的重要方法，应先确定最长边，然后验证两条较短的边的平方和是否等于最长边的平方.

考点6 直角三角形的性质

例6 （2017·龙东）如图6，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°.则当△ABM为直角三角形时，AM的长为 .

图6

【分析】注意到点M位置的不确定性，因此考虑分类讨论解决此题，分类的标准是看△ABM中哪个顶点可能是直角顶点.分好类以后，画出草图，根据已知给出的数据逐个计算即可.

解：（1）如图7，当点B为直角三角形ABM的直角顶点时，

∵AB=8，点O为AB中點，∴OB=4，

∵∠AOC=60°，∴∠BOM=60°，

∴∠OMB=30°，∴OM=8，

在Rt△OBM中，由勾股定理得BM=[43]，

在Rt△ABM中，由勾股定理得AM=[AB2+BM2]=[47].

（2）如图8，当点M在△ABC外部且点M为直角三角形ABM的直角顶点时，

∵点O为AB中点，∴OM=OB，

∵∠BOM=∠AOC=60°，

∴△BOM是等边三角形，

∴∠OBM=60°，∴∠BAM=30°，

∴BM=[12]AB=4，在Rt△ABM中，由勾股定理得AM=[43].

（3）如图9，当点M在△ABC内部且点M为直角三角形ABM的直角顶点时，同（2）可得△AOM是等边三角形，∴AM=AO=4.

综上所述，AM的长为[47]或[43]或4.

【点评】在直角三角形中，“30°角所对的直角边等于斜边的一半”揭示的是直角边与斜边的关系，它在求直角三角形中的线段长时能起到关键的作用.

（作者单位：江西省赣县江口中学）