基于阵元位置误差自校正的DOA估计算法

耿盛楠 金强

摘 要：阵列误差的存在将导致采用子空间类超分辨算法的信源波达角（Direction of Arrival， DOA）估计精度严重下降，对此给出了一种基于阵元位置误差自校正的DOA估计算法。首先采用Toeplitz处理和特征值重构相结合的迭代方法对阵列接收数据協方差矩阵进行处理，从而消除阵元位置误差对导向矢量造成的影响，进而采用MUSIC算法进行DOA估计。仿真实验表明该算法在阵元位置误差存在的情况下可极大地提升子空间类超分辨算法的DOA估计性能。

关键词：DOA估计；阵元位置误差；自校正；Toeplitz处理

中图分类号：TN911.23 文献标志码：A 文章编号：2095-2945（2018）10-0018-04

Abstract： The existence of array errors will lead to a serious decline in the estimated accuracy of the source DOA （Direction of Arrival）by subspace-like super-resolution algorithm. A self-calibration DOA estimation algorithm based on the position error of array elements is presented in this paper. Firstly， the covariance matrix of array received data is processed using the iterative method of Toeplitz processing and eigenvalue reconstruction， which eliminates the influence of position error of array element on the guidance vector， and then uses MUSIC algorithm to estimate DOA. The simulation results show that the proposed algorithm can greatly improve the DOA estimation performance of the subspace super-resolution algorithm when the array element position error exists.

Keywords： DOA estimation； arrayelement position error； self-calibration； Toeplitz processing

引言

信源波达角（Direction of Arrival， DOA）估计是阵列信号处理中一个重要的研究方向，其应用推动着现代雷达、无线通信等相关领域的发展。目前超分辨DOA估计方法通常可分为基于特征结构的子空间类方法（如MUSIC算法[1]、ESPRIT算法[2]）、加权子空间拟合类算法和[3]基于最大似然原理的算法[4]。相比较而言，子空间类算法最具广泛应用与研究价值，MUSIC算法是该类算法的典型代表，在一定程度上这类算法的估计精度极高，均方差可接近克拉美罗界，在DOA估计方面具有极高的分辨性能，但要求阵列导向矢量精确已知，实际应用中，阵列不可避免地存在各种误差，如阵列位置误差、阵列幅相误差及阵列互耦误差等[5][6]。这些误差的存在使得实际阵列流形偏离理想阵列流形，从而导致上述超分辨DOA估计方法性能恶化，因此研究阵列误差校正对实现高精度DOA估计具有重要意义。

当前阵列误差校正主要有两种方法——有源校正法和自校正法[7][8]。有源校正法是在信号源已知的前提下对方向信息进行估计的一种方法，计算量小且精度较高，理论上阵列误差可在此方法作用下得到完全消除，但在实际操作过程中，辅助信源信息并不能非常精确，此时这类算法会对参数估计带来较大误差，且需要额外增加信源操作负担和系统成本。自校正算法无需辅助信源，操作简便、实现成本低，但估计精度较差，因而需要对其进行优化和改进以实现较高的估计精度。

实际应用中，接收阵元由于生产技术、安装放置、客观环境等因素而产生的位置误差经常存在，且难以消除，即使增加采样数也无法达到预期效果。本文以此为出发点，针对阵元位置误差的存在，研究一种基于Toeplitz处理和特征值重构迭代的自校正方法对阵列接收数据协方差矩阵进行处理，从而应用MUSIC算法实现高精度DOA估计。

1 数学模型

1.1 阵列测向基本模型

假设空间中有N个信号源（远场窄带信号）入射到阵元数目为M的均匀线阵上（M>>N），且阵元与阵元间距为d（如图1所示），入射方向为？兹1。

对其进行谱峰搜索，峰值所对应的方位角度即为所求DOA估计，也就是经典的MUSIC算法。

1.2 阵元位置误差模型

由于生产技术、安装标准等的影响，实际的天线间隔常常无法满足均匀直线阵的要求，真实阵元位置会发生偏移。同时，对于一些工作在恶劣地形环境下的阵列，由于地形条件限制，阵元位置往往无法按照预期进行设置。另外，如果接收阵列安装在飞机、舰艇等非固定平台上，在外力作用下也会导致真实的阵元位置产生偏离。以上几种情况，都会造成阵元位置误差的存在，从而对方向估计的精度和准确性产生严重影响，导致性能的下降。

由式（7）（8）可知，阵元位置是阵列接收向量的变量，阵元位置误差使接收向量发生变化。假设第m个阵元的位置误差为△dm，则其接收的第i个信源的信号会产生相应的相位误差，该误差可以表示为：

可以看出当存在阵元位置误差时，DOA估计性能将严重恶化。因此若想利用MUSIC谱估计进行高精度DOA估计就必须对阵元位置误差进行校正。

2 阵元位置误差自校正算法

由上节推导可知，在不存在误差的情况下，阵列接收数据协方差矩阵具有Hermite Toeplitz 结构，MUSIC算法得以应用[11]。而真实条件下位置误差的存在将破坏该特性，使得MUSIC算法无法实现高分辨的准确估计。以此作为切入点，对受阵元位置误差影响的接收数据协方差矩阵进行预处理，还原其Toeplitz特性，以达到误差校正的目的。

2.1 位置误差条件下的Toeplitz预处理

受误差影响的数据协方差矩阵不满足Toeplitz特性，对其主对角线以及平行于主对角线的斜线上的元素在数值上取平均值，然后用得到的平均值替换所在斜线上的值，即可将原矩阵变换为Toeplitz矩阵。变换公式如下：

假设RT表示经过Toeplitz处理后的协方差矩阵，记作

其中T[·]表示对矩阵做Toeplitz变换。avR（n）表示RT中在主对角线上方的第n条斜线上的值，avL（n）表示RT中在主对角线下方的第n条斜线上的值。

经过Toeplitz變换后，采用MUSIC算法对所得矩阵作处理，通过谱峰搜索即可估计出信号的方位。

2.2 基于Toeplitz预处理的迭代算法

由上节可知，Toeplitz处理后将会得到数据协方差矩阵RT，当接收阵列数量M非无穷大时，与理想状态下噪声子空间对应的M-N个最小特征值均等于噪声功率？滓2不同，RT噪声子空间对应的M-N个最小特征值是不相等的。因此为满足特征值特性，需要进行特征值重构。

特征值重构算法的基本思想是对协方差矩阵原有的特征值进行处理，得到新的所需特征值，利用这些新的特征值构造新的矩阵。矩阵重构的公式如下：

在上式中，B[·]表示对矩阵做特征值重构处理。λ1？叟λ2？叟...？叟λM是M个误差条件下的信号特征值，λav是M-N个误差条件下的最小特征值的平均值，此处将其看作是噪声特征值。

经过上式变换，即可满足噪声子空间M-N个最小特征值均拥有相同值，然而重构后得到的矩阵并不能保证具有Toeplitz特性。因此，单独地进行Toeplitz变换或是特征值重构，得到的矩阵都无法满足预期要求，无法有效地消除位置误差对协方差矩阵的影响。

考虑将两种算法进行交替迭代，以达到上述目的，使得迭代处理后得到的矩阵同时具有Toeplitz性质和特征值特性。迭代过程如下：

2.3 算法流程

基于Toeplitz预处理迭代进行阵元误差自校正的DOA算法实现流程如下：

3 算法仿真及性能分析

3.1 Toeplitz预处理

设置仿真参数：信源个数为3，来波方向为-10°，10°，30°，接收阵列为均匀直线阵，阵元个数为8，阵元间距d=？姿/2，快拍数为1000，信噪比为10dB，传播信道为高斯信道，且阵元位置误差在[-Δd，Δd]内服从均值为零的随机分布。分别在理想条件、加入位置误差及进行Toeplitz预处理后的三种条件下采用MUSIC算法进行DOA估计，空间谱对比情况如图2所示：

图中可见，加入位置误差后，谱峰不再尖锐明显，位置出现偏差，DOA估计精确度严重下降；进行Toeplitz处理后，谱图有了明显的改善，估计精度得到显著提高，但观察图形可看出，关键位置处的角度估计仍存在一定的偏差，也表明了对算法进行进一步优化的必要性。

3.2 基于Toeplitz预处理和特征值重构的迭代算法

仿真条件设置同上，误差估计采用预处理与特征值重构迭代的方法，对校正后的接收阵列作MUSIC处理，仅作Toeplitz预处理和进行迭代处理的方向谱图对比如图3所示。

观察图3可发现与单纯进行Toeplitz处理相比，结合特征值重构的迭代方法所得的谱图峰值变得更加尖锐，且能量更加集中，DOA性能得到极大提升。

3.3 性能分析

在上述仿真参数和场景的基础上，对经Toeplitz处理和改进后基于迭代处理的阵元位置误差自校正算法的性能作分析比较，采用均方根误差作为其性能衡量参数。应用场景分别为存在位置误差、经过Toeplitz预处理校正后以及经过迭代处理校正后，分别进行500次重复蒙特卡洛实验。

实验一：分析不同场景下DOA估计的均方根误差与信噪比的关系。信噪比以3dB为步长不断变化，其余仿真参数不变，性能曲线如图4所示。

可见当信噪比较低时，接收信号主要为噪声分量，此时进行特征值重构将会产生较大的误差，因此迭代处理的效果较差；但随着信噪比的提升，经过Toeplitz处理和迭代处理后性能大幅提升，且迭代处理的结果更优。

实验二：分析不同场景下DOA估计的均方根误差与快拍数的关系。快拍数以50为步长不断变化，其余仿真参数不变，性能曲线如图5所示。

结果表明均方根误差随快拍数的变化趋势是一致的，在快拍数大于100后均方根误差趋于稳定，且迭代处理较之Toeplitz处理的校正效果有明显提升。

4 结束语

本文以阵列误差模型为基础，研究了一种基于迭代处理阵元位置误差自校正的DOA估计算法。在阵元存在位置误差的情况下对实际接收的数据协方差矩阵做Toeplitz预处理，再结合特征值重构，将两种方法进行迭代，尽可能还原其满足理想状态下的矩阵特性，在此基础上利用MUSIC算法进行DOA估计。多种场景下进行的仿真实验表明，就阵元位置误差自校正算法而言，进行Toeplitz处理在一定条件下可以提升估计性能，结合特征值重构改进后的迭代算法可使DOA估计精度得到明显提升。本方法可推广至其他子空间类超分辨算法，具有一定的适应性。

参考文献：

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