变量核Marcinkiewicz积分交换子在弱Herz空间上的有界性

邵旭馗，王素萍

(陇东学院 数学与统计学院，甘肃 庆阳 745000)

记Sn-1为Rn(n≥2)中的单位球面，其上装备了Lebesgue 测度dσ=dσ(z′).设定义在Rn×Rn上的函数Ω(x,z)∈L∞(Rn)×Lr(Sn-1)(r≥1), 满足

(1)

其中

∀z∈Rn{0}.

设Ω满足条件

Ω(x,λz)=Ω(x,z),∀x,z∈Rn,∀λ>0,

(2)

称函数f(x)∈Lipν(Rn)，如果满足

(3)

定义Marcinkiewicz积分μΩ如下

(4)

Stein[1]首次定义了Marcinkiewicz积分μΩ，得到当Ω∈Lip(Rn)时μΩ的(p,p)有界性;Torchinsky等[2]又证明了μΩ与函数b∈BMO(Rn)的交换子μΩ,b加权有界性.其中

(5)

王娅昕[3]研究了b∈Lipβ(Rn)时交换子μΩ,b的有界性;Mo等[4]进一步考虑了多线性的情形.

(6)

先给出一些定义与记号：设k∈Z, 令Bk=B(0,2k)={x∈Rn:|x|≤2k},Ck=BkBk-1，并记χk=χCk为集Ck的特征函数.

(7)

其中

(8)

(9)

其中：S′(Rn)表示Rn上的缓增广义函数空间，G(f)是f的Grand极大函数.

定义4[15]设α∈R,1

suppα⊂B(0,r)={x∈Rn:|x|≤r}，

定理1设Ω(x,y)∈L∞(Rn)×Lipν(Sn-1)满足(2)式，α∈R,b∈Lipβ(Rn)，其中

1 定理的证明

并且有

其中：上式中下确界是在f的所有分解上取得.

引理2设

如果Ω(x,y)∈L∞(Rn)×Lipν(Sn-1)，b∈Lipβ(Rn)，有

引理2的证明参见文[3].

引理3设b∈Lipβ(Rn),0≤β<1,有

其中

证明

≤

当0

当p>1时,由α∈R,有

因此

以下估计I1,因为

所以，有

由x∈Ck,有

由于x∈Ck，y∈Bj,且j≤k-3,故|x-y|～|x|～|x|+2j+1.由Hölder不等式、Minkowski不等式及αj的性质,有

对x∈Ck，y∈Bj,且j≤k-3,Ω(x,y)∈L∞(Rn)×Lipν(Sn-1),0<ν≤1,有

可得

对于E2,由于x∈Ck，y∈Bj,且j≤k-3,又因为Ω(x,y)∈L∞(Rn)×Lipν(Sn-1),应用Minkowski不等式可得

其中

因此对任意的x∈Ck,有

对任意的λ>0，设K0是满足下列条件的最大正整数,有

故对任意的k>K0,有

因此,有

综合E1,E2的估计,可得

故可得

至此,定理1证毕.

参考文献：

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