挖掘高中数学错题中蕴含的教育价值

黄鸿辉

（福建省诏安第一中学，福建诏安 363500）

引 言

高中数学的深度和难度都是其他教学阶段的数学课程所不能比的，高中数学更注重知识与能力的全面提高，如果只注重学习课本知识而忽略了对学生综合解题能力的锻炼，就会造成无法准确地理解和应用高中数学知识为解决问题服务，这也将导致学生的数学学习质量下降。而在不断的练习与巩固的过程中，必然会产生许多做错的题目。这些错题的产生，可能是因为粗心大意，也可能是因为知识点掌握不足，对于高中数学而言，总结错题无疑是一个系统化提升的过程，因而错题具有的教育价值不可忽视。

一、高中数学对错题进行总结的重要性

高中数学知识性内容多、内容驳杂。仅就课本内容而言，就出现了6本教材，涉及平面几何、立体几何、解析几何、向量与代数等内容，内容之多，难度之大，跨领域学习和研究的程度也超过此前任何一个时期，故而学生在学习的过程中会不断出现各种各样的错误，错误题目越积累越多，相关的整理、归纳、总结如不能及时跟进，将会造成很大的知识漏洞[1]。这也意味着错题总结具有如下的重要性：

1.明确出错的原因，进行总结提升

错题的出现往往有很多的原因，一般性的错误和知识性的错误不可等量齐观，其中更有一些因为忽视和紧张而犯下的疏漏性问题。对错题进行总结就意味着要从更全面的角度对犯错的地方进行梳理，可以是重新演算或理解，也可以是记下相关的结论以供下次使用。错题的总结在此处体现的是较为综合的评估作用。一条普适的规律是犯过的错误往往会继续犯，直到彻底理解错误的真实意义才有可能在之后的学习中规避。

2.起到习题集的作用，比习练新题更具复习意义

由于高中数学内容较多，日常的学习往往不能兼顾众多的知识点，而考试尤其是高考，针对的是全面的知识体系，这就凸显了不断复习的重要性。在复习的过程中有很多学生因为复习资料较多而显得茫无头绪，这时，由不断总结错题汇集而成的错题集便成为一个很好的复习宝典。有价值的错题往往是知识点较为综合的难题和需要技巧和能力的应用才能解答的题[2]。因而通过一道错题便可以读取到较多的知识性内容，可以做到对照题目翻找书本中的相关概念，做到综合的复习与提升。这对于高考复习和阶段性总结提升颇为有用。

二、如何挖掘高中数学错题中蕴含的教育价值

1.对知识性内容进行总结，分析错误原因

下面是一道典型的三角函数与向量知识的综合应用题。这一实例是高中数学应用型问题的代表，需要学生有较为综合的数学逻辑和思维，能够较好地理清知识点并进行准确的运算才能获得正确求解。

例1.已知α、β、∂为三个锐角，且α＝π-β-∂.若向量与向量是共线向量。

三角函数在向量中的应用常常是利用空间向量的相互关系，并将向量间的关系转化为三角函数式，由此达到结合两部分知识并进行化简问题最终得解的目标。

综合分析上题可知，学生的易错点在于三角函数运算公式识记不清、对向量共线等概念把握不准确进而造成错解。通过对这一错题的分析相当于同时总结了三角函数、向量、三角函数与向量的综合应用方面的问题。学生通过错解分析错误原因，更好地突出了错题具有的教育意义[3]。

2.对能力性内容进行分析研究，启迪类似问题的解法

例2．已知函数f(x)=X2+xsinx+cosx

（1）若曲线y=f(x)在点(m,f(m))处与直线y=n相切，求m与n的值。

（2）若曲线y=f(x)与直线y=n有两个不同的交点，求n的取值范围。

解：（1）由基本求导法则：f’(x)=2x+xcosx.

又由于曲线y=f(x)在点(m,f(m))处的切线为y=n.

所以f'(m)=0，f(m)=n。故有2a+acosa=0，a2+asina+cosa=n.联立两式，解得m=0,n=1.

（2）由2+cosx＞0,故当x＞0时，f’(x)＞0，f(x)为单调递增函数.

当x＜0时，f’(x)＜0，f(x)为单调递减函数。

当x＜0时，f(x)取得最小值f(0)=1。此时n的取值范围为正无穷大。

导数和三角函数的结合应用在高中数学知识体系中就表现为这样典型的两个方面，从基本的求导公式的应用，到通过导数的相关性质判断函数单调性及取值范围以及进行函数表达式的求解。而三角函数的一些特殊性质，比如周期性、值域等基本的特性在应用导数求解问题时会使问题更多维化和思想化，较为考验学生的综合能力。

以上例题的综合性也较大，出现了分类讨论及求解混合方程与待定系数求解等多个方面的知识点。学生在解题的过程中需要知道基本的求导法则，同时根据题目给定的条件进行灵活变通，对类似题目的错题进行总结，能够明确考查能力型题目的命题方向和特点，经常研究这类题目是拓展学生的数学能力，为高分进阶的重要法宝。

结 语

综上所述，错题的良性利用是高中数学教学有效性的重要实现途径，通过合理地利用错题并挖掘错题中蕴含的教育价值，对于更好地促进高中生的学习，完善错题中知识点的复习具有重要意义。同时，通过本文的分析也可看出，高中数学内容繁多，教学过程中知识性内容较多，而课下学生自主的能力锻炼便显得十分重要，通过积极地整理和应用数学错题，能使学生自己发现学习过程中的漏洞，对知识点进行重新梳理和分析，明确自己的易错点和相应的知识点的关系，进而做到对不同数学知识的良好掌握，更加凸显数学错题的教育价值，使得数学错题的真正意义得以体现，为学生的知识学习和能力提升作出贡献。

[1]盛晓燕．巧用数学错题资源提高课堂教学效果[J/OL]．华夏教师，2016，(S2)：65(2016-08-09)． http：//kns．cnki．net/kcms/detail/10．1045．G4．20160809．1053．104．html．DOI：10．16704/j．cnki．hxjs．2016．s2．052．

[2]陈婷婷．例谈数学错题分析中学生知识内化的策略[J]．小学教学参考，2015，(08)：66-67．

[3]许春辉．数学“错题本”在学生学习过程中的应用研究[J]．开封教育学院学报，2014，34(10)：231-232．