迭代运算对涌现现象的变量影响作用

边尚泽

摘 要 在科学的研究过程中，人们在许许多多的领域中都观察到了一种奇特的现象：涌现。所谓涌现，就是指由一些简单部分组成的整体系统表现出了超乎想象的复杂性。比如，简简单单的沙粒组合成的沙丘，可以有十分夸张的起伏变化，行动简单的蚂蚁组成的蚁群可以以几乎最优的办法捕食，搭建巢穴。本文研究复杂系统的涌现现象，不仅可以解决人们的好奇，对于天气预测，金融市场的走向甚至是生命的起源等问题都可以给出有效的回答。

【关键词】迭代运算 涌现现象 变量

1 涌现现象的原因

涌现现象的内在原因就是系统内部的自我反馈。具体而言，就是系统自身在前一状态的一些参数，可以影响到后一状态的参数变化。笔者的观点，之所以能产生这种影响作用的原因主要有两个：

（1）叠加运算可以出现指数爆炸现象，使得一些参数可以在极少的几次迭代运算中对整体数据产生巨大的影响。

（2）在一些特定情况，简单部分特定组合后可以形成一个相对稳定，稍显复杂的小体系，多个小体系又形成了一个更为复杂的二级体系，层层迭代后最终变成了一个庞杂的完整体系。而如果只是简简单单地去看初始的极简个体和最终的庞杂体系，大约所有的人都会对涌现现象的出现感到奇怪。

2 迭代运算对涌现现象的变量影响

对于只和参数相关的迭代运算而言，如果我们真的去看每次迭代结果和初始参数的关系的话，我们会惊奇的发现，二者的函数关系方程并非是一成不变的，而是每次都有巨大的变化。以逻辑斯蒂映射方程为例（xn=Rxn-1（1-xn-1））。如果我们去观察初始参数x0和x5，x10之间的函数关系的话，会发现二者可以说是截然不同的。并且在这两个函数关系中，都会出现类似xx这种变化迅猛的部分。可以说正是因为这种迭代运算使的原本极其简单的关系在多次迭代后变成了一个超乎意料的复杂整体，并且这个整体当中会有一些变化迅猛的部分。实际上逻辑斯蒂映射方程只有在完成多次迭代后才可以表现出一定的涌现，而指数函数也要经历一定的准备才可以表现出指数爆炸的态势，这也从一定程度上说明了，正是由于迭代引起的函数关系的变化，使其从一个相对直白的幂函数变为了变化剧烈的指数函数，拥有了原本形势下根本不会具有的一些特性。这从一定程度上可以解释为何逻辑斯蒂映射方程在R值突破临界之后整个函数会出现剧烈的震荡，并且对于仅有略微不同的初始值可以变化出差距巨大的差异了。实际上，倘若我们已经确定了迭代的次数后，再去看特定x0或特定R值的话，并不会出现出乎意料的涌现现象或者是难以用已有的数学知识解答的变化浮动。再言之，对于逻辑斯蒂映射方程这样的迭代方程，除了x0和R這两个其他函数中常见的变量以外，迭代的次数也是十分重要的一个变量，对于这种函数的研究，倘若还是简简单单使用一个二维坐标系的话，必然会表现出一些我们当下数学中难以解答的现象，只有使用一个可同时直观体现三个变量的三维坐标系来观察，才可以看到它富有规则和纪律性的一面。

从另一个角度而言任何一个自身影响的变化体系都会因为迭代而变得极度敏感且变化多端。也许一个神经系统的对外界变化的极度敏感在一定程度上也是由此而产生的，我们对颜色，音色的细微变化的感知很可能就是因此而出现的。而在明显使用数学工具的领域里，如果能从预定的迭代次数出发，直接去推导末态和初态的关系，也许可以帮助我们避开很多因为涌现而出现的麻烦。

对于简单个体出现小整体系统，小系统再组合催生二级系统，多次变化后出现庞杂系统这一观点，并非空穴来风。从一个最简单的角度出发，分形：从十公里，公里，十米，厘米这些角度去看海岸线，得到的图形都是十分相似的，这种现象就是分形。我们知道一个单纯的细胞不可能完成打篮球，交流等工作，但由细胞组成的人体甚至可以完成比这要麻烦，困难的多的工作。我们之所以可以做到这些，正式因为简单的细胞们组成了组织，而组织这一整体拥有了单个细胞不具有但又完全没有的功能。比如单个表皮细胞是无法起到任何保护作用的，但多个表皮细胞组合到一起就可以形成一块表皮组织从而起到一定的保护效果。而表皮组织在和其他组织结合在一起时就可以形成一小块皮肤，完成散热，排汗，感受等多重功能。值得注意的是，在形成二级系统时就已经拥有了很多单个细胞所没有的功能了。而多块皮肤和其下的肌肉，骨骼相组合，就可以形成一块肢体并完成一定的运动，再经过一定的组合后，就可以得到一个可以理解复杂规则并在其中游戏的人。其实我们也可以从机械的角度去看待这种现象。一小块铁皮或者一个齿轮都不会有明显的功能，但多块铁皮或者多个齿轮组合到一起就可以完成容纳或者是传动的功能。多个简单功能的组合就可以完成一个更加复杂了功能了，最后甚至可以组装成飞机甚至航天器。但如果单单看一块铁皮或者一个齿轮，翱翔天际明显是不可能的，但高级复杂功能的出现并非是突如其来的，先是进行简单的同类聚集而将个体的功能放大到可以使用的地步，再讲多个可使用的功能进行组合而获得更为高级的功能，多个高级功能再组合就可以完成一些极度复杂的任务了。

所以从这个角度而言涌现之所以可以出现，就是应为一个小部分的功能得到了层层迭代，最终获得了我们想要的复杂系统。在这个过程中有两个必要的前提，第一最最基本的小部分要能够稳定组合，第二多个小部分之间能够有机结合。沙丘，海岸线只满足了第一个条件，所以仅仅能够表现出在不同尺度上的形状相似和一定程度上的复杂。无法完成有机结合的话就无法完成功能上的突破，整体的系统也就难以体现出多少涌现性了。从这个角度而言，当我们要研究一个难以用简单模型概括的庞杂整体时，不妨先去看看数量较少的个体组合能体现出怎样的功能，再看看这个组合能否与其他组合进行有机结合，从而一步步的探索涌现出现的原因。热带丛林中的行军蚁，单单一只的行为十分简单，而又百万之重时其变化多端让人难以想象，在研究这种现象时，倘若从个体的紧密连接和两个整体间的结合出发，可能会所切入。

从参数的角度来看，一个个体就如同一个小小的数据，经过层层组合就如同层层迭代，最终的结果就是和上文中所述一样，一个小小的参数变化最终使整个系统都体现出了巨大差异。有时一个机械系统会因为一个小零件而整体崩溃，很可能就是这个原因。至于生命系统即使许多细胞不正常死亡，生命系统也可以继续生存，很有可能是因为生命系统可以自我检测、自我调节，从而防止了小变量的层层迭代而引起的巨大变化。

3 结语

所以，迭代叠加可以出现指数爆炸级的涌现现象，一些参数可以在极少的几次迭代叠加运算后对整体数据产生巨大的影响；某些特定情况，简单部分特定组合后形成的相对稳定、稍显复杂的小体系，多个小体系又构成了更为复杂的二级体系，层层迭代后，最终变成了庞杂的完整体系。这就是迭代运算和涌现现象之间的可能存在的内部联系，从数学的纯计算角度和从较为复杂的系统工程都不难看出迭代运算对于较小变量的放大影响作用。所以迭代的次数应该成为我们研究如逻辑斯蒂映射方程之类的复杂系统问题时的重要研究变量。而对于个体间的结合，以及两个较大整体的有机融合，则要成为我们研究功能单一的简单整体，如何通过组合而形成更大的整体，从而实现复杂功能。

作者单位

山东淄博实验中学2015级14班 山东省淄博市 255000