基于改进的MDAL算法的图像复原研究

摘 要 目前基于小波框架的图像复原模型研究较为普遍，它在图像方面的成功应用主要是因为稀疏逼近的分段光滑函数。虽然基于l0平滑的图像复原算法中能够提供图像的稀疏表示，但基于l0范数的约束项会使得计算量较为复杂，且代码运行时间较长。针对此问题，提出一种改进的MDAL算法。算法中采用光滑高斯函数近似代替l0范数，通过牛顿迭代法来更新小波框架的系数。实验结果表明，与其他算法相比，提出的改进的MDAL算法具有自适应的鲁棒性，很好地保持了图像的边缘特征，能够明显改善图像的视觉效果，且具有较高的峰值信噪比（PSNR）。

【关键词】小波框架 图像复原 l0最小化 MDAL算法

1 引言

图像恢复技术是图像处理领域一类重要的处理技术，与图像增强等其他基本图像处理技术类似，该技术也是以获取视觉质量得到某种程度改善为目的的。图像恢复过程需要根据指定的图像退化模型来完成，根据这个退化模型对在某种情况下退化或恶化了的退化图像进行恢复，以获取到原始的、未经过退化的原始图像。换句话说，图像恢复的处理过程实际是对退化图像品质的提升，并通过图像品质的提升来达到图像在视觉上的改善。图像复原技术在航空航天、生物医学、国防公安等领域具有广泛的应用。目前，在非平稳图像先验知识未知等前提下，图像复原方法得到了不错的复原效果。

较早的复原方法有Wiener滤波、RL方法等，但复原图像有大量的振铃效应。Fergus 等人[1]利用混合高斯模型来逼近重尾分布，取得了具有标志性的的进展，然而复原出的图像中含有振铃效应。Shan等人[2]采用新的分段函数模型来逼近梯度分布，有效地抑制了图像复原过程中造成的振铃现象，但是恢复出的图像中含有噪声。Xu等人[3]提出一种选择显著性边缘的方法，很好地保持了模糊核的稀疏性，但未考虑模糊核的连续性。

基于小波框架的图像复原模型研究较为普遍，比较常见的算法有PD算法和MDAL算法。通常情况下，采用l0范数来度量数据的稀疏性比较准确，即考察数据集中非零元的个数。但在实际应用中，一方面，当优化模型中存在基于l0范数的约束项时，就会使得求解方法较为复杂，且时间复杂度较高；另一方面，l0范数对于数据中的噪声是极其敏感的。为了克服l0范数的不足，本文通过光滑高斯函数近似代替l0范数，提出了一种改进的MDAL算法。改进的MDAL算法具有自适应的鲁棒性，很好地保持了图像的边缘特征和视觉特性。

2 小波框架下的图像复原模型

为了获得高质量的图像复原，目前各种正则化方法在文献中被提出。在所有关于图像复原的正则化模型中，变分方法和小波框架是很成功的，并且在实际中得到了广泛应用。

基于文献[4]的小波框架能根据基本解的奇异性，适应性地在给定图像的不同区域选取适当的微分算子，所以它们优于一些变分模型。在离散设置时，w表示快速的张量积框架分解，wT表示快速重构。然后通过单一的扩展原理（UEP）[5]，得到一个更好的重构：因为WTW=1，所以对于任何矩阵u，满足u=WTWu。小波框架的构造也能通过UEP来获得。在数值模拟中，Haar框架将以特定[7]形式被构造使用。用以下公式来表示u的L层的框架系数分解：

I表示所有框架带的指数集，Wl，ju是u在j带l层的小波框架。我们也使用α表示小波框架系数，即α=Wu，

使用基于文獻方法[6]的分析来解决图像重构问题：

其中f表示噪声模糊图像，A表示模糊算子。l0范数||w||0被定义为w的非零项的数目。在小波变换的确定层和波段的给定的像素位置上，用（Wu）i表示Wu的值（与λi类似）。为了符号的简单，优化模型（3）可以重新写成：

3 小波框架中基于l0最小化的MDAL算法

均值双重增强拉格朗日问题可以被定义为：

基于l0范数的约束项会使得计算量较为复杂，且代码运行时间较长。同时，l0范数对于数据中的噪声是极其敏感的。光滑高斯函数的傅氏变换还是它本身，其频谱图是一个单瓣，因此能比较好地保留图像的低频和高频信息，并在保留图像信息和滤出噪声之间找到一个平衡点。高斯函数的计算上的可分离性，使得其高维计算可以高效进行。例如二维高斯函数的卷积计算，可以先用原始二维图像对一个一维高斯函数卷积，再对另外一个方向垂直的一维高斯函数进行第二次卷积。本文采用光滑高斯函数近似代替l0范数，提出一种改进的基于l0最小化的MDAL算法。考虑到带参数σ1的连续高斯函数[6]：

逼近的准确性受参数来控制，同时用来逼近克罗内克函数（Kronecker delta）[13]。在数学术语上，有：

函数h是α中零项数目的一个指示器，重构向量α通过以下公式逼近：

其中，。在上面的公式中，N代表了所有包括在α中的元素的数量和，所以可以用重建优化后的模型来代替（6）：

对于均值双重增强拉格朗日（MDAL）问题，可以用以下三步迭代来描述，并通过应用光滑算法来解决最小化问题：

通过牛顿迭代法来更新小波框架的系数。通过牛顿下降梯度法求解α中所有元素的导数。在这种情况下，小波框架的系数有更少的非零项，小波框架系数得到最小值。在整个操作过程中，内循环通过牛顿法来控制小波系数，并采用合适的终止标准终止外循环。

4 模拟和结果

在这一部分，本文提供了改进的MDAL方法与其它方法进行图像恢复质量比较。本文选取四幅不同的模糊图像做测试，使用MATLAB中的“fspecial（‘gaussian，11，2）”函数来生成模糊核。恢复图像的质量通过下面定义的PSNR值来测定：

其中，是待复原的清晰图像。

本文测试两种算法的信噪比和时间复杂度。所有的计算都在MATLAB上进行。电脑配置为Intel Core i7（3.4GHz）CPU， 16GB RAM， Window7操作系统。通过实验，我们为两种方法选择相同的停止标准。

在Haar框架下，对于所有的图像进行测试。对于改进的MDAL方法，设定参数σ1=0.5，step=0.68，k=6，μ=0.01，γ=0.003。这些参数的优化调整可能会提高呈现的结果，但也可能降低算法的实用性，因为更多的参数是需要使用者自行调整的。

图1是本文与其他方法的复原实验对比结果。图1（a）是一副模糊图像，图1（b、c、d）分别是Fergus，Shan以及Xu等人的结果，图1（e）是本文改进的MDAL方法的结果。Fergus等[1]和Shan等[2]采用模糊核阈值截断的方法，复原图像中存在一定的模糊，如图（b）和（c）所示。Xu等人[3]的复原结果中有明显的振铃效应，如图1（c）所示。实验结果显示，本文方法的峰值信噪比（PSNR）的值比其他方法至少高2db，如表1所示。从图1（e）和（f）中可以发现，本文在复原的同时，有效地抑制了振铃效应，很好地保持了图像的边缘特征和视觉特性。

5 结束语

光滑高斯函数能比较好地保留图像的低频和高频信息，同时由于高斯函数计算上的可分离性，使得其高维计算可以高效进行。在小波框架下，本文利用光滑高斯函数近似代替 范数，提出了基于改进的MDAL算法的图像复原模型。实验结果表明，改进的MDAL算法具有自适应的鲁棒性，很好地保持了图像的边缘特征和视觉特性。采用峰值信噪比（PSNR）作为基于误差敏感的图像质量评价。与其他方法的定量结果相比，本文方法的PSNR值远高于其他方法的PSNR值，具有很好的理论研究意义和实用价值。然而，对于一些特殊的图像，改进的MDAL算法比其他两种算法要慢。在未来的工作中，一方面要减少计算成本，另一方面，为了获得更好的图像质量，我们需要进一步优化我们的算法，处理一些非光滑的图像。

参考文献

[1]Fergus Rob，Singh Barun， Hertzmann Aaron，et al.Removing camera shake from a single photograph[C].ACM Transactions on Graphics，2006，25（03）：787-794.

[2]Q.Shan，W.Xiong，and J.Jia.Rotational motion deblurring of a rigid object from a single image.In Proc.Int. Conf.Comput.Vision.IEEE，2007.

[3]Xu L and Jia J.Two-phase kernel estimation for robust motion deblurring.In Proc.10th European Conf.Comput.Vision.IEEE，2010.

[4]J.Cai，S.Osher，and Z.Shen，“Split Bregman methods and frame based image restoration，”Multiscale Modeling and Simulation：A SIAM Interdisciplinary Journal，vol.8，no.2， pp.337-369，2009.

[5]J.Cai，S.Osher，and Z.Shen，“Split Bregman methods and frame based image restoration，”Multiscale Modeling and Simulation：A SIAM Interdisciplinary Journal，vol.8，no. 2，pp.337-369，2009.

[6]王志堅.基于大气模型的图像复原改进算法及应用[J].计算机工程与应用，2007（03）：239-241+248.

作者简介

张静（1990-），女，山东省滨州市人。硕士学位。吉林建筑大学城建学院助教。主要研究方向为图像处理，计算数学。

作者单位

吉林建筑大学城建学院基础部 吉林省长春市 130000