数梯形、四边形、正方形个数

胡皓

【摘要】首先通过数简单梯形和正方形的题目找到规律，然后用一个统一的方程来准确地概括所有情况.遇到一些特殊情况需要单独做讨论.通過公式以快速、简便、高效地算出梯形、正方形、平行四边形的数目.再复杂的题目都会一目了然.

【关键词】数图形个数；统一的方程；快速；准确；方便

假期给孩子辅导作业时发现了一道有趣的问题.这是“计数问题”，也就是数图形个数问题.《同步奥数培优4年级》【1】里的第五讲就是说的“计数问题”.题目如下：

问：图中有多少个梯形？

笔者想，要是题目复杂很多，那根本数不过来，应该找到一种规律，甚至用一个方程来快速、高效地算出答案.这样就大大节约时间，并且准确率更高.

一、只用横线切割梯形

先把复杂的问题简单化，从最简单的情况入手.

x代表一个大梯形被多少根横线切割.

当x=0的梯形总数：1=0+1+0；

当x=1的梯形总数：3=2+1+0；

当x=2的梯形总数（如图1所示）：6=3+1+2；

当x=3的梯形总数：10=4+1+5（5=2+2+1）；

当x=4的梯形总数：15=5+1+9（9=3+3+2+1）；

当x=5的梯形总数：21=6+1+14（14=4+4+3+2+1）.

由此，我们可以推断：当x=6时，梯形总数为：7+1+（5+5+4+3+2+1）=28；

当x=7时，梯形总数为：8+1+（6+6+5+4+3+2+1）=36.

经验证确实如此.

我们用S代表梯形总数，那么有：

S=（x+1）+1+（x-1）+（x-1）+（x-2）+（x-3）+（x-4）+……+3+2+1

=（2x+1）+[1+（x-1）]（x-1）2

=（x+1）（x+2）2.公式1

经验证，此公式符合事实.

同理，此公式也可运用到平行四边形中.

（一）只用竖线且是垂直竖线切割梯形

y1代表一个大梯形被多少根垂直竖线切割.

当y1=0时的梯形总数：1；

当y1=1时的梯形总数：3；

当y1=2时的梯形总数：5；

当y1=3时的梯形总数：7；

当y1=4时的梯形总数：9；

以此可以推断S=2y1+1.公式2

（二）只用竖线且是非垂直竖线切割梯形

y代表一个大梯形被多少根非垂直竖线切割.

当y=0时的梯形总数：1；

当y=1时的梯形总数：3=2+1+0；

当y=2时的梯形总数：6=3+1+2；

当y=3时的梯形总数：10=4+1+5（5=2+2+1）；

当y=4时的梯形总数：15=5+1+9（9=3+3+2+1）；

此情况同样运用于公式S=（x+1）（x+2）2.

二、既有横线切割又有竖线切割的梯形

对于既有横线分割又有竖线分割的梯形，其数学方法上就是用“相乘”.先算出只有横线时梯形的总数S1，再算出只有竖线时梯形的总数S2，然后S=S1×S2.

当x=1，y=1时的梯形总数：S1=（1+1）（1+2）2=3，S2=S1，S=S1×S2=3×3=9；

当x=2，y=2时的梯形总数：S1=（2+1）（2+2）2=6，S2=S1，S=S1×S2=6×6=36；

如图2所示，x=3，y=4时的梯形总数：S1=（3+1）（3+2）2=10，S2=（4+1）（4+2）2=15，S=S1×S2=10×15=150；

当x=3，y1=3时的梯形总数：S1=（3+1）（3+2）2=10，S2=2×3+1=7，S=S1×S2=10×7=70.

结论：利用公式能够快速、方便、准确的算出答案，即使一个梯形被上千根横线和上千根竖线分割，也能很快算出答案.

三、既有横线又有竖线分割的正方形

其分析统计原理和梯形一样.

由于分割正方形时，横线数和竖线数相同才能使每个小四边形都是正方形.即y=x或者y1=x.否则情况需要另作讨论.

x代表一个大正方形被多少根横线或竖线切割.

当x=0时的正方形总数：1；

当x=1时的正方形总数：5=4+1；

当x=2时的正方形总数：14=9+1+4（4=22）；

当x=3时的正方形总数：30=16+1+13（13=32+22）；

如图3所示，x=4时的正方形总数：55=25+1+29（29=42+32+22）；

由此，我们可以推断当x=5时，正方形总数：（5+1）2+1+（52+42+32+22）=91.

经验证，计算符合事实.

假设正方形总数为S，则有：S=（x+1）2+1+x2+（x-1）2+（x-2）2+…+32+22=

（x+1）2+x（x+1）（2x+1）6=2x3+9x2+13x+66.公式3

【参考文献】

[1]《同步奥数培优》编写组.同步奥数培优·小学四年级[M].长春：吉林出版集团，2012.