过滤白噪声地震动模型的CQC振型相关系数计算

王 刚，周晓青

深圳大学土木工程学院，广东深圳 518060

目前，振型分解反应谱法广泛用于抗震设计，利用抗震设计规范中给出的设计反应谱，可方便地计算各振型地震反应的最大值，并利用平方和开方(square root of the sum of the squares，SRSS)或完全二次型组合(complete quadratic combination，CQC)进行振型组合．由于CQC法精度高，且简单实用，因此得到广泛应用．现在常用的CQC振型组合系数公式是由KIUREGHIAN等[1-7]提出的，该公式基于地震动为零均值平稳白噪声的假设，利用随机振动理论推导而来．周锡元等[8-9]将其推广到复模态分解反应谱法，给出了复振型的完全二次型组合(complex complete quadratic combination, CCQC)组合系数计算公式．也是基于地震动为零均值平稳白噪声的假设推导出来的，即假设地震动输入带宽足够大，可覆盖对整体贡献显著的那些振型，当这个假设不能满足时，现行的CQC组合方法将无法达到足够的精度．因此，更精确地考虑地震动模型有助于改善CQC组合[1-2,4]．

地震动模型常见的有过滤白噪声模型，如Kanai/Tajimi模型[10-11]，以及在此基础上改进的各种功率谱模型[12-15]．有关地震动模型，文献[16]做了详尽综述．在文献[4]中，KIUREGHIAN等将CQC组合方法进一步扩展到输入为窄带白噪声的情况，此外，还考虑了被截断高阶模态的准静态贡献，以及输入截止频率的影响等因素．CQC振型相关系数计算基于以下假设：地震动为零均值平稳随机过程，结构的最大反应正比于相应的根方差，且不同振型之间，振型最大反应与根方差的比例常数相同．考虑过滤白噪声地震动模型时，CQC组合的振型相关系数推导常常需要在频域内进行积分，其结果变得复杂冗长[1]，严重影响了实用性能．

本研究给出了地震动为过滤白噪声的情况下，CQC组合振型相关系数的一种新算法，这种方法避开了复杂冗长的频域积分，计算简洁实用，结果为精确解．

1 CQC组合系数计算方法

考虑地震作用下的结构振动方程

(1)

(2)

其中，γi=(φTiL)/(φTiMφi)， 为振型参与系数．

其中，振型相关系数ρij的推导基于以下假设：地震动为零均值平稳随机过程，结构的最大反应正比于相应的根方差，且不同振型之间，振型最大反应与根方差的比例常数相同．从而，

(3)

其中，

记

(4)

则式(3)还可以写成

(5)

(6)

这里，r=ωi/ωj为频率比．

考虑1输入2输出的线性系统

(7)

其状态空间方程可以写成

(8)

其中， (A,B,C,D)为相应的系数矩阵，由于Hi(ω)和Hj(ω)是严格真有理函数，所以D=0， 其余系数矩阵详见后面讨论；q是输出向量，q=[qiqj]T；w是输入，当w是零均值白噪声，且E(w2)=1时，输出q的协方差矩阵[17]可写成

E[qqT]=CPCT

(9)

其中，P是如下Lyapunov方程的解

AP+PAT+BBT=0

(10)

求解Lyapunov方程(10)已有成熟的算法[18-19]，且在本文情况中方程(10)阶数很低，计算量很小，容易求得P， 进而由式(9)和式(3)求出振型相关系数．理论上，该方法与计算积分(4)及式(5)方法等价，是精确解[17]．

令(Ai，Bi，Ci，0)、 (Aj，Bj,Cj,0)和(Ag,Bg,Cg,Dg)分别为Hi(ω),Hj(ω)和G(ω)的状态空间系数矩阵，则状态方程(8)的系数矩阵分别为

(11)

以常见的Kanai/Tajimi模型为例，

(12)

其中，j表示虚部，相应的状态方程系数矩阵为

(13)

Hi(ω),Hj(ω)的状态方程系数矩阵为

Cm=[1 0],m分别取i和j．

(14)

当地震动模型为白噪声时，G(ω)=1， 式(11)退化为只保留前两行两列分块矩阵，按本算法计算结果与式(6)完全相同．

当地震动模型为其他过滤白噪声类型时，只是滤波器G(ω)的具体形式，以及对应的状态方程系数矩阵(Ag,Bg,Cg,Dg)有所不同，振型相关系数均可按本算法进行计算．

综上，利用式(11)构造矩阵A、B、C进而求解Lyapunov方程(10)，并利用式(9)和式(3)求出振型相关系数．

2 算 例

Kanai/Tajimi模型取ωg=10 rad/s，ξg=0.65． 其功率谱密度函数如图1，给出的El Centro地震波的功率谱密度作为参考．

图1 Kanai/Tajimi模型的功率谱密度函数Fig.1 Power spectrum density function of Kanai/Tajimi model

由于矩阵A只有6×6阶，Lyapunov方程(10)的求解耗时非常少，在实际结构分析中其计算量完全可忽略不计．

图2是在振型阻尼比ξi=ξj=0.05，ωj=5、 10、 20、 50、 100 rad/s，假设地震动为Kanai/Tajimi模型时，得到的振型相关系数ρij与r的关系曲线，作为对比，图2中也给出了白噪声模型下即式(6)的结果．

从图2可知，与白噪声模型相比，假设地震动为Kanai/Tajimi模型时，在频率比远离1的情形，振型相关系数不一定趋近于0；高阶振型对整体的贡献较白噪声假设的结果显著．这个结果与文献[2]一致．

图2 振型相关系数与频率比的关系曲线Fig.2 Modal correlation coefficient versus frequency ratio

结 语

本研究提出通过求解Lyapunov方程，得到CQC振型组合系数的方法，这种方法避开了在频域里对有理分式的冗长积分结果，计算量小，算法成熟可靠，可用于解决常见的过滤白噪声地震动模型问题．

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