从教知识到教知识的结构——“小数点的移动，引起小数大小变化”教学思考

◇ 朱学尧

“小数点的移动，引起小数大小的变化”是苏教版教材五年级上册教学内容。该内容安排了两个课时 （如图1），例2是教学小数乘整十、整百……引起小数大小的变化规律；例5是教学小数除以整十、整百……引起小数大小变化的规律。由于这两个内容的安排相隔三四节课的时间，在教学时，教师都是把这两个内容按教材呈现的顺序分开教学的，同时，在教学时，都是按照教材中的提示语来安排教学设计的。

图1

从教材提供的两个例题的提示语可以看出，小数点向右（左）移动的规律教学路径都是一致的。由于这两个内容存在许多的相似性和相关性，在教学这一规律时，我突破教材对话框中的教学路径，借助已有的“小数数位顺序表”的建构方法和学生已储备的类推经验，对两个例题进行整合，实现了高效教学。

一、复习旧知，唤醒经验

片段一：

师：哪位同学能说说小数的数位是按怎样的顺序排列的？相邻数位之间的进率是多少？

（从课堂上看，大部分学生都能回答出：小数点左边是整数部分，右边是小数部分，相邻数位之间的进率都是十）

师：5在十分位和百分位上，表示的意义和大小一样吗？为什么？

（大部分学生都能回答出：十分位上5表示5个0.1，百分位上的5表示5个0.01。十分位上的5是百分位上的5的10倍，因为5的位置发生了变化）

师小结：看来一个数中某个数字所在的位置发生了变化，这个数的大小往往也就发生了变化。以1.24为例，怎么改变这个小数各个数位所在的位置呢？

思考：此问题大部分学生能直接回答类似改变小数点位置的答语，个别学生回答的是：移动某个数字，如2和4调换位置。此时，教师适时引导：若1、2、4三个数字排列顺序不改变，你会怎么办？这样，通过教师引导，学生的认知很快都聚焦在通过改变小数点的位置来改变小数的大小上。看来学生通过小数的数位位置关系，能发现小数大小变化以及变化的关系，对小数点的移动引起小数大小变化的认知，能从形式上的知其然走向本质上的知其所以然。

二、迁移经验，沟通联系

片段二：

师：你知道5.04×10、5.04×100、5.04×1000分别是多少吗？根据是什么？

（从课堂上来看，大部分学生能依靠感觉回答出结果，部分学生能说出类似5.04×10就是把5.04扩大10倍，也就是得50.4的理由。这种感觉，一方面是基于以前已有的因数变化规律的经验；另一方面是根据小数数位位置结构特征来进行经验的改造和提升。只不过教师此时需要进行如下的引导，来让学生的认知更加明朗化）

师：谁能结合小数的数位位置间的关系来解释变化的原因？

（从课堂观察来看，学生开始都能以5.04×10=50.4的计算结果来解释。如有的学生说：“5.04中的4本来在百分位上，现在变成了十分位，十分位与百分位是相邻的计数单位，因此，4就扩大了10倍。”还有的学生说：“50.4中的每一个数位都升级了，都扩大了10倍，因此，这个小数就整体扩大了10倍。”这就说明，学生能够运用小数数位结构特征来解释其中的原因。欲让学生深层次地思考，需要教师提出如下核心问题）

师：计数单位越往右边是越小的，为什么小数点向右移动，这个小数反而变大了呢？

（对该问题，大部分学生都能结合5.04×10=50.4的计算结果做如下的解释：小数点向右移动，原来的每一个数字都是向左移动了；小数点的移动和数字的移动是反向的）

师：请同学用小数的数位结构特征来推断，5.04×100、5.04×1000计算结果是多少？并说说其中的道理。

师：……请你们用计算器再验证一下，上面的推断结果是否正确？

师：请同学说说小数点向右移动，小数大小是怎样变化的？

师：一个小数乘10、乘100……就是把原来的小数点向右移动一位、两位……这个小数就扩大了10倍、100倍……

片段三：

师：小数点向右移动一位、两位、三位……原来的数分别扩大10倍、100倍、1000倍……由此，你能推出小数点向左移动，会引起小数怎样的变化？你的根据是什么？

（从课堂反馈看，大部分学生都能直接回答出正确结果。有的说是根据以前学的一个因数乘10、乘100后原来数的大小变化关系来逆向推出的；有的同学根据小数数位顺序表以及例1的经验来逆向推出的。从中可以看出，学生完全可以利用已有的经验来类推小数点向左移动时小数大小变化的规律，只不过需要教师如下引领学生来内化方法的建构过程）

师：谁能以5.04÷10为例来说说，一个小数分别除以10、100、1000后，为什么会相当于小数点向左移动一位、两位、三位？

（从课堂上看，学生有的是根据小数点向右移动的规律来反向推理的，有的是根据数位顺序表来推理的，还有的是根据小数计数单位的变化规律来推理的）

师小结：看来小数点向左移动，原来小数每个数位上的数字，也是在做“相反”的运动，移动后，得到新的小数。

师：请同学结合小数数位顺序表来说说5.04÷100、5.04÷1000的结果，并用计算器来验证一下。

三、突破疑点，形成技能

师：你觉得在移动小数点时，容易出现问题的地方在哪里？

（从课堂反馈和学生回答上来看，学生出现的问题，基本上都是在与小数点向右（左）移动，当位数不够时，学生不知需要补几个0。尤其是向左移动，学生往往少补一个0。为此，教师需要给学生搭建怎么移动的交流平台）

师：出示0.25，要求学生把小数点分别向右（左）移动一位、两位、三位、四位。

师生交流：怎么移动，能保证右边补的0正好？此时，小数点在哪里？

小结方法。（略）

教后思考：

认知心理学家奥苏贝尔认为：教师要为学生提供新知学习的上位概念或知识的大框架，使学生对新知识的本质属性有个总体印象，在上位概念的同化之中，通过对具体细节的逐步分化，来学习下位概念。

苏教版教材在一些知识点的编写上，对不同的年级、上下册教材以及同一单元前后的教学内容，都呈现了相似、相关的结构。实践中，我们把间隔三四节课时间的两个相通的例题进行了整合，并改变以往的教学路径和思维的惯性，从寻找“小数点移动引起小数大小变化”的根上入手。从数的数位顺序表切入，基于知识的上位“规律”，来设计教学。这样的教学既节省了时间，又让学生的探究走向了深刻，同时，让学生感受到知识间的连贯性和发展性。

数学知识具有较强的系统性和逻辑性，各部分之间的联系十分紧密。教师需要研究教材编排的内容结构，既要研究本节课的具体内容，又要研究这部分内容与前后知识的内在联系。数学教材不仅呈现了教学内容，还影响着教师如何教，学生如何学，指引课堂教学活动的组织和开展。这就需要教师在教学设计上要有整体的设计观，要有从教知识点走向让学生学知识体系，要有先整体再分化的教学意识和策略，这样的教学才能有利于学生整体性地理解知识，减轻学生的记忆负担，形成良好的认知结构。