小学数学思维教学的几个案例（上）

数学思维教学的重要性现已获得了小学数学教师的普遍认同，但就这方面的具体工作而言，还有不少问题需要我们深入地进行研究。特別是，如何将数学思维与具体知识内容的教学很好地结合起来，从而使学生不仅能够很好地掌握相关的数学知识与技能，也能逐步学会数学地思维。笔者就近期接触到的几个课例对此做出具体分析，希望能够引发广大教师的思考，并能结合教学实践积极地开展研究，从而将教学工作做得更好，切实促进自身的专业成长。

一、“年、月、日的认识”的教学

这是苏教版数学教材三年级下册的一项内容。常见的教法是：引导学生对某一年份的年历做具体考察，从而发现大月、小月的区别，包括它们各有多少天，2月有什么特殊之处，全年共有多少天，以及平年和闰年的区分，等等。显然，这样的教学设计主要集中于知识的掌握。

上述的目标应该不难达到，但就我们的论题而言，笔者希望读者能进一步思考：就这一内容的教学而言，我们如何很好地体现数学思维的教学这样一个目标？当然，这也是这一教学活动的一个相关事实，即我们的教学如果完全局限于相关事实，就很难被看成一堂真正的数学课。因为，这些知识都只是生活知识，很难被看成与数学具有真正的联系。

或许也就是基于后一种思考，有教师提出了这样的教学方案，即由单独考察某一年份的年历转而同时引入多个不同年份的年历，希望学生通过对比，凭借自身的努力获得相关的发现，甚至认为这也属于“找规律”的活动。

相对于简单的传授而言，让学生自己获得相关的发现当然更加可取。但是，这样的活动是否就因此具有了一定的数学味？笔者对此仍有一定的怀疑，包括这样一个思考：所说的知识能否被看成真正的规律？因为，这正是人们关于日常认识与数学认识主要区别的一个共识：后者不应停留于事实的发现，还必须对此做出进一步的说明与理解，包括必要的证明。再者，在笔者看来，与其将大月有31天、小月有30天、一年有12个月等看成所谓的规律，还不如说它们都只是一些历史事实，具有很大的偶然性。

进而，也正是从同一角度分析，笔者以为，与单纯强调找规律相比，这可以被看成关于这一内容教学更恰当的一个定位，即我们应当由现成知识的简单传授或发现转而更加重视其形成的过程———当然，后者主要是指历史与文化的考察，而非纯粹的理性分析。

但是，我们如何将这一内容的教学与数学思维的学习很好地结合起来呢？或者说，使其具有较强的数学味呢？在笔者看来，这就直接涉及分析的视角：从数学教学的角度看，我们应当将年、月、日的认识放到度量，特别是时间的度量这一更大的范围中去进行分析思考。

还应强调的是，这里所说的数学的视角，不应被看成是与前面所提到的历史与文化的考察直接相抵触的。这就为我们更好地从事这一内容的教学指明了努力的方向：我们如何将两者很好地结合在一起。

具体地说，在此不妨首先将学生引入这样一个情境：由于缺乏必要的时间概念与计时工具和方法，早期的人类与现代人相比，显然更加容易发出这样的感叹：我们不知不觉就老了！时间都去哪儿啦？

当然，这也就十分清楚地表明了计时的重要性。然而，由于当时并没有合适的计时工具及概念系统，人们就必然会借助日常生活中所观察到的一些自然现象，特别是天体的变化作为基本的计时工具。这直接导致了日、月、年的引入：它们分别与昼夜的轮替、月亮的圆缺变化，以及春夏秋冬四季的循环直接相对应。

再者，如果教学中我们能从社会文化，特别是联系人们生活生产的需要去进行分析，显然就有助于学生更好地理解引入年、月、日这些计时单位的必要性。另外，与现实的需要相对照，以下的思考则可说表现出了较强的数学味：由于同时存在多个不同的计时单位，我们显然也就有必要进一步研究它们之间的关系，如1年究竟有多少天？1个月有多少天？1年又有多少个月？等等。这也就是指，后者事实上即可被看成一般性的度量问题在这方面的具体体现。

当然，上述各个问题的提出还可被看成很好地体现了精确定量这样一个数学思想。然而，就这方面的各个具体结论而言，又应说是文化的因素发挥了主要的作用。如，我们为什么会进行大月和小月的区分，为什么会对2月的天数做出特别的规定等。再则，以下的事实显然可被看成十分清楚地表明了它们的文化性质，即历史上存在多种不同的计时系统，如所谓的阳历与阴历等。当然，最终又是科学的进步为时间度量的统一提供了客观标准。比如，我们应当如何决定一年的长度，又应如何依据相关的事实做出平年与闰年的区分，等等。

最后，笔者以为，借助以下事实我们或许可帮助学生初步地领会两种文化的区别：如果说现行的计时系统主要体现了人文文化的影响，那么，这就是科学文化（数学文化是其中十分重要的一个成分）十分重要的一个特征，即更加注重结论的合理性。就我们当前的论题而言，这也就是指，我们应当如何安排年、月、日才最为合理。例如，以下就是一些科学家曾提出的一个建议：我们应当完全取消大月与小月的区分以及2月的特殊地位，而是统一规定“一年中12个月都是30天”，并将剩下的5天（或6天）放在一年开始之时作为公共假日。

由此可见，上述内容事实上也为我们在教学中很好地渗透数学文化提供了契机。

关于计时问题的另一实例可参见《24小时记时法的教学》（[1]：第一章，[例14]），其中特别提到了这样一个事实：除了12小时记时法与24小时记时法的明显区别以外，还涉及两种不同的计时系统，即所谓的周期记时法，以及如同“2016年9月18日下午6时30分”这样的精确记时。在此要强调的是：月份的引入事实上可被看成周期计时的又一实例，而这又正是采取周期记时法的一个主要优点：“数学使一切科学变得简单。”（陈省身语）

二、“谁的面积大”的教学endprint

这是各类教学观摩中经常可以看到的一项内容，任课教师普遍采取了联系生活实际的引入方式，如，用28根1米长的木棍圍一块长方形的菜地，如何围面积最大？（这方面的一个课例可参见[1]：第一章，[例8]）这里所说的引入方式当然有一定的优点，但笔者在此从另一角度提出这样一个问题，即我们如何才能使数学课上所提出的问题对学生而言是真正十分自然的？如果说所谓的问题引领和问题驱动可被看成数学教学既能充分发挥教师的引导作用，又能很好地体现学生的主体地位，并能帮助学生学会数学地思维（更一般地说，就是促进学生思维的发展。特别是，能逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，并由理性思维逐步走向理性精神）的关键，那么，这就是这方面工作应当特别关注的一个问题，即我们应当高度重视相关问题的自然性：“一个很关键的因素就是教师必须让学生感到问题的提出是自然的，而不是神秘的，是有迹可循的，而不是无章可依的。”（详见[2]）

当然，笔者在此所关注的，不只是所说的“围地问题”对学生而言是否可以被看成十分自然的，而主要是这样一个思考，即我们应当如何提出“谁的面积大”这样一个问题，才能更加有利于学生思维的发展。这显然要求我们更加重视对学生现实情况的深入分析。

具体地说，正如人们普遍了解的，这是学生在学习平面图形的面积与周长时经常会出现的一个错误，即对面积与周长这两个概念产生混淆。为了解决这样一个问题，有不少教师提出了很好的建议，如我们可以利用直观动作（即所谓的画一画与摸一摸等）帮助学生较好地把握周长与面积的区别（这方面的一些实例可参见[1]：第三章，[例19]，第九章，[例17]）。这些做法当然有一定的积极意义，但应强调的是，这又正是人们思维发展的一个重要特点，即人们已建立的观念，包括各种错误的认识，并不能通过简单纠正就会立即得到改变，而往往会潜伏在主体头脑的某个部位，并在某个时候不知不觉地表现出来。容易想到的是：这事实上也就是将周长与面积混淆的一个具体表现，即有不少学生会认为“如果两个平面图形的周长相等，它们的面积也一定相等”。特别是，如果两者都属于同一种图形（如长方形）的话。

至此，相信读者也就容易理解笔者关于如何引入“谁的面积大”的以下建议了，即不同于现实情境的设置，我们可让学生自由地提出自己关于以下问题的猜想：“两个长方形如果周长相等，它们的面积是否也一定相等？”应当强调的是，除了有益于更好地纠正学生对周长与面积这两个概念理解上所存在的错误以外，后一做法还具有这样一个优点，即能使学生们切实体验什么是真实的数学研究活动。特别是，这往往包含这样的过程：问题———猜想———检验———修正或改进———再检验———理解与说明（作为真正的数学研究活动，最终当然还应对所得出的结论做出严格证明）。这也就是指，我们在此同样可以按照上述的路径开展相关内容的教学。

在此还应清楚地指明这样一点（这也是数学思维的一个重要特点）：所面临的问题得到了解决（在此是指否定性结论的得出，即我们通过实例的计算———例如，假设长方形的两条边长分别是12与2，10与4———就可证明“周长相等时，长方形的面积也一定相等”这一猜想是错的）并不意味着研究的结束，而是应当以此为基础积极地开展新的研究，包括提出新的问题与猜想。（详可见[1]：4.3节）

具体地说，在得出了“周长相等的长方形，面积未必相等”这样一个结论以后，我们还应引导学生遵循以下思路积极地开展新的思考：尽管周长与面积之间不存在简单的相等关系，恰恰相反，随着图形形状（或者说边长）的改变，面积也会发生一定的变化。但是，对于所说的变化，我们是否可以找出某种确定的关系或规律？更一般地说，这也就是指，我们应努力寻找变化中的不变成分或因素。（这方面的另外一些实例可参见潘小明，“用核心问题引领探究学习，培育小学生的数学核心素养，《小学数学教师》，2016年增刊；郑毓信，《小学数学概念与思维教学》，江苏教育出版社，2014，第七章，[例22]）

另外，还应强调的是，尽管单纯从知识层面分析，上述的两种教学方法似乎没有什么重要的差异，即无论我们是从实际情境出发组织教学，还是按照“问题与猜想”的途径进行教学，学生最终似乎都能很好地建立起这样一个认识：“在周长相等的情况下，长方形两邻边的长度越接近，它的面积就越大。”但从促进学生思维发展的角度看，后一做法应当说更为可取，包括有益于学生彻底地纠正将周长与面积混淆的错误认识。当然，为了实现后一目标，教师在得出上述结论之后就应有意识地强调这样一个推论：我们决不能将周长与面积简单地等同起来！

最后，从帮助学生逐步学会数学地思维，特别是解决问题这样一个研究传统的角度进行分析，就上述内容的教学而言，我们还可提出这样一个建议：在解决了最初的问题以后，我们还应引导学生进一步思考：如果所涉及的图形并非长方形，而是其他的图形，如三角形等，所得出的结论是否仍然成立？再者，如果我们不对图形的类别做出具体规定，这时又可得出什么样的结论？

另外，建议读者在教学中不妨也尝试着让学生说出自己对已得出结论的理解，包括相关的道理。因为，这也是我们在教学中始终不应忘记的一个基本事实，即应当充分肯定小学生的创造能力，而且，他们在这方面的一些具体表现往往会给我们带来极大的惊喜（这方面的一个实例可参见[1]：第三章，[例17]）。

（待续）endprint