基于关联的“斐波那契数列”教学设计*

☉浙江师范大学教师教育学院 李怀军

☉河南师范大学数学与信息科学学院 侯学萍 贾蕙宇

2016年9月发布的《中国学生发展核心素养》将“实践创新”素养提到了一个十分显著的位置.该素养的培养最终需要依靠学科来帮助学生形成创新意识.不过，这一教育目标得以真正实现，其前提条件之一是数学教师必须有创新的意识和观念.而教育部和日本东芝公司自2008年开始合作举办的“东芝杯”中国师范大学理科师范生教学技能创新大赛（以下简称“东芝杯创新大赛”），就在促进中国师范生教学技能创新能力、中国教师自主创新能力的提高起到一定的辐射和引领作用.该大赛最为突出的亮点是创新奖的设置，以奖励参赛的所有学科中在教学内容、教学形式与教学手段诸多方面富有创新和模拟授课表现突出的选手.在第七届“东芝杯创新大赛”中，基于关联视角设计的“斐波那契数列”一课有幸获得创新奖.

一、“斐波那契数列”教学设计的总体思考

“斐波那契数列”是人教A版高中数学必修5第二章“数列”第1节“数列的概念及简单表示法”课后的阅读材料，在“等差数列”与“等比数列”两节之前.教材按照背景知识、递推公式、在自然界中的呈现、《斐波那契季刊》的顺序进行了简要介绍，也呈现出一定的知识性、趣味性、科学性与教育性，但略显不足.加上阅读材料栏目未被“课标”列入教学内容，所以“斐波那契数列”这节内容并没有引起大多数一线老师的关注.

教学设计能力是教师专业水平和教学能力的关键，其本质是“理解数学，理解学生，理解教学”［1］的水平和能力.如果考据斐波那契数列本身，以及把它放在数列章节的总体框架中，可以发现几个被人所忽略的问题：

其一，斐波那契数列递推公式的出现略显突兀.某种程度上，这可能会造成该知识点产生和发展过程中所蕴含的递推思想被轻视.

其二，尽管学习了“数列的概念及简单的表示方法”，但一部分学生对数列的本质和递推思想的理解并不完全到位.斐波那契数列这个知识点的“再创造”教学有助于化解这一问题，也利于学生快速把握后续“等差数列”与“等比数列”知识的本质.

其三，能否以递推公式为内容主线、逻辑推理为逻辑主线，从知识之间的关联视角组织材料.

其四，以斐波那契数列为背景的试题在近些年较为频繁地出现在高考试题中，所以学习“斐波那契数列”也很有必要.

最后，斐波那契数列作为一个既古老又被代代数学家探究新性质，并且具有相当难度的数列，蕴含着丰富的科学价值、应用价值、人文价值和美学意义.是否有必要考虑学生的生活环境，在教材和教学中彰显斐波那契数列的时代特征？

正如徐文彬所说：“学习就是因关联而存在的，而教学则是为关联而存在的.”［2］基于以上分析，对于“斐波那契数列”的教学，给出如下的教学设计与实践.

二、“斐波那契数列”的教学简录

教学过程主要包含情境创设、问题探究、规律探究、拓展探究四个依次进行的环节.

（一）趣味游戏，创设情境

师生一起做“挑战不可能”数字游戏：对于1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610……这列数，任意选取连续十项，借助计算器，在5秒钟之内（设置“倒计时”提醒）求其和.

教学反馈1 创设的游戏情境平中见奇：融入央视大型原创励志节目——“挑战不可能”元素，富有时代特色；“倒计时”所营造的氛围使学生迅速进入课堂状态，引发好奇或怀疑.

（二）提出问题，探究发现

简要介绍斐波那契的出生年代、著作等背景知识，引出一个关于兔子繁殖的问题（简称兔子问题），并指出后人正是通过对该问题的逐步探究得到了斐波那契数列.

【兔子问题】如果一对大兔子（具有繁殖能力）每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每一对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔.假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后有多少对兔子？

1.合作探究，递推公式

该问题的解决就是一个数学建模的过程，最为关键的环节是对兔子繁殖规律——每一对小兔在它出生后的第三个月里，又能生下1对小兔——进行数学化理解和表示，即抽象概括出它的数学本质.

为便于学生理解和分析，在PPT上分别用灰色和黄色的兔子图形表示一对新生小兔和一对成熟大兔，并用表格动态呈现各个月兔子的总对数、成熟大兔个数以及新生小兔的个数.

首先从简单情况下手，逐月分析前5个月兔子的对数，并填写表格，按相应顺序播放PPT，显示渐增的兔子对数，以帮助学生形成初步的感性认识.再以第4个月为例专门进行分析以发现规律.

师：4月的兔子分为几类？各是什么？

生1：两类，一类是（成熟）大兔，一类是（新生）小兔.

师：4月的大兔个数等于哪个月兔子总数？

生2：三月份兔子总数.

师：那4月的小兔个数呢？

生3：等于二月份兔子数.

师：也即四月份兔子总数等于三月份与二月份兔子数之和.那5月份呢？是不是也有这个规律？

大家回答“是”.

师：同样，五月份兔子总数等于四月份与三月份兔子数之和.你发现了什么规律？

停顿一会儿，学生思考.

师：每个月兔子数等于……？

全体学生回答前两个月兔子数之和.

师：第50个月呢？

生4：等于第48个月与第49个月兔子数之和.

师：如果用Fn表示第n个月的兔子总对数，那Fn呢？

学生答Fn+2=Fn+1+Fn，或者Fn=Fn-1+Fn-2等.

这种看似平淡的“对话”，却利于学生真正发现兔子繁殖规律所蕴含的递推关系.由此，根据起始两个月的兔子总数就可以推算出各月（含第50个月）兔子的总对数，从而形成一列有序的数，即斐波那契数列.其中每一个数被称为斐波那契数.以下是它的递推公式：

教学反馈2 通过对每个月兔子来源的分类讨论，发现兔子繁殖规律的数学本质是一种特殊的递推关系.这个“再创造”过程，有助于学生形成递推意识、运用符号进行正确表征.

（三）美之欣赏，神奇呈现

看起来非常普通的斐波那契数列，却在自然界中有着非常广泛的呈现（PPT展示）：吊竹梅、梅花、飞燕草这些花花瓣的数量恰好都是斐波那契数；向日葵的螺旋、松果种子的排列、菠萝表面的突起也都对应着某个斐波那契数.

（四）揭晓答案，探究规律

斐波那契数列不仅具有神秘的自然之美，还有非常丰富的数学之美（其他有趣的性质）.

1.数学之美，游戏揭秘

首先，揭开刚上课时教师挑战游戏成功的秘密：实际上是根据斐波那契数列这个性质：

【性质2】任意连续10项之和必等于第7项的11倍，即Fn+1+Fn+2+…+Fn+10=11Fn+7，用第7个数乘以11得到结果.

教学反馈3 这一设计与创设的情境构成相扣一环.学生久久未能得以解决的一个困惑终于有了一个明确的回应，利于培养学生求真的理性精神.

2.类比推理，性质探究

对于斐波那契数列而言，连续两项之和（相加）可以得到下一项.这不禁会引发类比猜想：连续两项进行其他什么运算，又会得到什么有意思的结果？经过思考和讨论，学生认为连续两项之商可能会有意义.于是教师借助PPT——计算一个比值，闪烁出一个红点——进行快速、动态演示，如图1所示：

1÷2=0.5 2÷3≈0.666 7

3÷5=0.6 5÷8=0.625

8÷13≈0.615 4 13÷21≈0.619 0

21÷34≈0.617 7 34÷55≈0.618 2

55÷89≈0.618 0 89÷144≈0.618 0

图1 取值的动态变化图

【性质3】斐波那契数列每一项与其后一项之比越来越趋近于一个常数0.618！

教学反馈4 在类比中猜想新命题，通过演示进一步验证该命题的可靠性.这种类比与实验的方法有助于学生发现和提出命题，建立数学知识之间的关联，提高合情推理能力.

（四）数列变形，拓展探究

以上讨论的均是数列本身的性质.接下来对其进行变换——对其各项平方，探讨所形成的新数列1，1，4，9，25……的性质；之前是从数的角度，现在换成从形的角度来探究.

1.以形助数，以数解（释）形

教师用自制的正方形磁性教具演示：12，22分别看成边长为1、2的正方形的面积，并引出问题：从形的角度入手探究这个新数列有什么性质.

师：每个组都有1，1，2，3，5，8这些以斐波那契数为边的正方形（磁性教具），请同学们尝试着把前2个正方形拼在一起，前3个、前4个分别拼在一起，看看依次能拼得什么图形？观察拼得后的图形的面积用它的边长应该怎么表示？

学生以小组为单位动手操作、合作探究，教师做个别指导.给予充分的时间，学生拼出图2左侧的若干组合，也有部分小组利用所有的正方形磁性教具得到图2右侧的拼接方式.

图2 学生所拼接的图形

图3 学生所列的对应的等式

师：大部分学生都能拼出图2中的几个图形，并相应列出图3各个等式，每个等式右端的这些数都是斐波那契数列中相邻两项乘积.这样我们就可以归纳出前n项的平方和等于？

生5：Fn×Fn+1.

师：这样就得到了斐波那契数列这一性质：

教学反馈5 在探讨性质4的过程中，学生直观想象，利用磁性教具，以形助数，尝试发现规律：以斐波那契数为边的前n个正方形的面积和等于第n个斐波那契数与第n+1个斐波那契数的乘积；以数解（释）形，用符号正确表述规律.这利于学生建立良好的数学直觉，提升数形结合的能力，从而更好理解事物本质和发展规律.

2.数列升华，实例应用

“借题发挥”：观察黑板上组合图形的拼接特征——边长为1的正方形放在了中间，缓慢演示：在这些正方形里面画一个90°的扇形，由里到外连接起来就形成一条弧线——斐波那契螺旋线.

“升华数列”：斐波那契螺旋线可以让整个画面呈现出一种美感.因为从图中的主体作为起点，按照螺旋线进行构图，可以创造出引人注目的视觉体验.这种构图方式应用非常广泛.同时播放自制的微视频：艺术绘画（达芬奇的名画《蒙娜丽莎》、徐悲鸿的名画《马》）影视作品（热播剧《琅琊榜》）和工业设计（苹果手机logo）进行感受和欣赏.

“数列应用”：一位美国少年根据斐波那契数列制作了一棵太阳能树，其能源效率据说比普通光伏电池板高出20%～50%.

教学反馈6 于学生“典型”的拼接图形之处深入挖掘，借助现代信息技术，将奇妙的斐波那契螺旋线与贴切的文化和时代元素进行整合，有机融入到微视频中.加上对美国少年根据斐波那契数列制作太阳树的介绍，使得数列变形这部分的探究在人文价值、应用价值和审美情趣上得以升华.

三、进一步的思考

本教学设计以问题为线索，引发学生的认知冲突，突出合情推理；以递推公式为内容主线、以逻辑推理为逻辑主线，关注知识间内在的关联；以有助于学生对现实问题中蕴含的数学模式进行思考、判断、转化和应用的理念引导学生把握数学内容的本质，感悟数学的思想，较好地诠释了数学作为一门研究自然规律的科学的本质.

1.建立数列本章基本知识以及数列与其他章节之间的关联

教师要使学生学会在先前学的概念和技巧与将要学的内容之间建立联系.比如，斐波那契数列递推公式概念的理解与掌握，既是对上一节所学递推公式概念的运用，又有利于学生深刻理解等差与等比数列的概念；性质1的学习，有助于发现性质3；借助磁性教具沟通了数列与几何领域的关联.总之，“使各个部分的内容联系起来，形成有机整体，融会贯通后将其运用到数学问题解决过程中.”［3］

2.建立知识的“再创造”与学生基本数学活动经验之间的关联

弗赖登塔尔强调：“学习数学的唯一正确方法是实行‘再创造’”［4］.换言之，“数学教育的本质在于引导学生重新发现概念与原理，从而构建数学知识体系.”［5］在教师引导下，学生从自己的知识和经验从发，经历“兔子问题”的提出、聚焦、数学化，到斐波那契数列概念的获得；通过“直观想象、动手操作、数形转换、合理猜想”等学习方式，学生探究出性质4.通过系列探究活动，学生将“递推思想”顺应于自己的知识结构中.以上的“再创造”过程，其核心是“学生的主动探究……在其中，学生必将积累大量的数学活动经验.”［6］

3.建立数学与文化及其他领域之间的关联

“数学文化是一个开放、多元、动态的系统……也包括数学与其他人类文化的互动关系.”［7］对于这个既古老又被代代数学家探究新性质，并且具有相当难度的斐波那契数列，以独特的情境，贴近学生生活实际的方式——艺术绘画，影视作品，产品设计，太阳能树——艺术性地呈现出来，使刚接触数列概念的高中生能够很好地理解并学以致用，真切感受到“数学是自然与社会相互联系的一种工具”［8］.

4.建立教学环节之间的关联

游戏情境创设与游戏揭密前后呼应；动手操作、合作探究发现性质4，与欣赏斐波那契螺旋线前后关联……这些安排都有助于改善教与学的方式，使学生主动学习，提高教学质量.

1.章建跃.全面深化数学课改的几个关键［J］.课程·教材·教法，2016（5）.

2.徐文彬.关联与想象是学习与教学的实质［J］.江苏教育：小学教学，2013（9）.

3.范文贵.美国关联数学课程研究及启示［J］.外国中小学教育，2009（3）.

4.弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M］.陈昌平译.上海：上海教育出版社，1999.

5.曹广福，张蜀青.论数学课堂教学与评价的核心要素——以高中倒数概念课为例［J］.数学教育学报，2016（4）.

6.顾继玲.聚焦“基本数学活动经验”［J］.数学教育学报，2016，（1）.

7.张维忠.数学教育中的数学文化［M］.上海：上海教育出版社，2011.

8.张维忠.数学文化与数学课程［M］.上海：上海教育出版社，1999.