金属板复合材料单面胶接补强结构的状态空间法

穆志韬,牛 勇，刘 涛,颜光耀(.海军航空大学 航空机械系，山东 青岛 6604;.93部队，山东 烟台 64037)

近年来，纤维增强复合材料以其比强度和比刚度高、性能可设计、环境耐久性强等诸多优异特性，广泛应用于各个工程领域，如航空航天、汽车工业及建筑领域等[1]。其中一项重要应用是利用胶粘的方法，将复合材料补片贴补到金属结构的外表面，以此达到改善局部区域受力状况的目的[2-6]。胶层及复合材料补片的界面性能对补强效果有重要影响[7-12]。文献[13]建立了考虑弯曲变形单面修补结构力学分析模型,推导出了金属板复合材料单面补强结构中胶层面内剪切应力以及面外剥离应力的解析解，并对胶层主导的破坏模式进行了分析。文献[13]利用TOM理论对Rose LRF分析方法进行了改进，认为胶层剪切应力沿胶层厚度方向上呈线性分布，并得到了复合材料双面修复结构中胶层剪切应力的解析解。文献[14]利用有限元方法,研究了复合材料粘接修理结构中胶层的弹性模量对其应力分布的影响。分析了胶层出现屈服和未屈服两种情况下,胶层的第1主应力,剥离应力和xy面剪切应力的分布随胶层弹性模量的变化情况。从以往研究中发现，对补强结构力学性能的研究大部分集中在胶层应力分布及破坏的研究上，较少研究复合材料补片的力学行为和失效机制。其中一个重要原因是补强结构涉及多种材料，其对应的边界条件也较为复杂，在传统的板壳理论中，难以找到合适的解函数满足其边界条件，得到补片中应力分布的显式解析解[15-18]。但补片破坏是除胶层破坏以外的另一种重要破坏形式，对其应力分布的研究同样具有重要意义。

针对上述问题，本文采用状态空间法(SSM)，从弹性力学基本方程出发，通过消去平面应力分量，仅保留各层之间相互协调所需要的力学量的方法，建立金属板复合材料单面胶接补强结构的理论分析模型，并利用三角级数及阶跃函数对各类边界条件进行了描述，得到了复合材料补片中应力分布的解析解。同时，利用有限元方法验证理论分析模型的有效性，并简要分析复合材料补片及胶层的破坏模式与失效机制。

1 复合材料单面补强结构力学模型

图1为完好的金属板复合材料单面胶接补强结构的典型示意图，补片采用与金属板等宽度的矩形补片。其中，L和l分别为金属板及复合材料补片的长度，B为二者宽度，利用胶粘剂实现二者之间的载荷传递。

根据补强结构的特点，做如下基本假设：

(1)金属板在x=0及x=l两处简支；

(2)结构在板宽方向上处于平面应变状态；

(3)胶层完好，不存在缺陷，结合面位移函数保持连续[15]。

图1 金属板复合材料单面补强结构俯视图

图2为补强结构拆解图，其中tp和ts分别为补片和金属板的厚度，第k层为金属板，第k-1层为胶层，第k-1以上为复合材料补片各分层。

图2 金属结构复合材料单面补强结构拆解

1.1 复合材料补片及胶层状态方程

由于复合材料补片及胶层受力状态相同，在1～k-1层中的各分层中，任取一单层r，建立局部坐标系，取坐标x轴与层顶层轴线重合，z轴与左侧边缘重合，考察其中任意点的应力状态。

根据单元应力状态，力平衡方程为

(1)

由广义Hooke定律及几何方程可得

(2)

从式(1)及式(2)中消去平面应力分量σx，使得方程中仅保留各层之间相互协调所需要的力学量，可得第r层的状态方程

(3)

将平面应力分量σx方程应力单独列出，即

(4)

方程(3)中右侧系数矩阵为非常数阵，求解方程需将系数矩阵化为非常数矩阵，为此将式(3)中4个未知量展开成级数形式

(5)

将式(5)代入式(3)、(4)整理得

(6)

(7)

将状态方程组(6)写成如下形式

(8)

其中Kn为方程组(6)的系数矩阵，式(8)为线性常系数齐次状态方程，采用矩阵指数法对其进行求解，可得

(9)

式(9)建立了复合材料补片各分层及胶层中不同位置处应力与位移分量与其顶层的关系。令

(10)

则式(10)简化为

Rn(z)=Dn(z)·Rn(0)

(11)

1.2 金属板状态方程

由于金属基板与补片及胶层受力状态不同，需单独进行分析，如图(1)所示，金属基板两端分别受远端应力σ作用，为此，引入阶跃函数H(x)和H(x-l)

(12)

对式(12)求导有

(13)

其中δ(x)为Dirac函数，x∈[0,l]，令

(14)

将式(14)代入静力平衡方程(1)得

(15)

在金属板中σz、w和τxz三项与式(5)相同，令

(16)

(17)

(18)

求解方程(17)得

(19)

参照式(10)、(11)将状态方程式(19)写成如下形式

Rn(hk)=Dn(hk)·Rn(0k)+Bn(hk)

(20)

其中Bn(hk)为式(19)最右侧的常数矩阵，是状态方程的输入控制矩阵。

2 边界条件及状态方程的解

由于上述状态方程均采用了局部坐标系，根据层间的应力和位移连续条件，上一层底层应力和位移状态为相临下一层顶层的初始边界条件，逐层类推，最后可以把整个结构的上、下表面的力学量联结起来，以第一层和第二层为例，第一层的层底为第二层顶层的边界条件，即

(21)

式(21)中，h1和h2分别表示第1层和第2层的厚度，01表示第一层顶层位置。

依次类推，整个修复结构组合后的状态方程为

(22)

在整体状态方程(22)中令

(23)

将式(23)展开成如下形式

(24)

由于金属板在x=0及x=l两处简支，由受力分析可得补强结构的边界条件为

复合材料补片顶面

(25)

金属板底面

(26)

将边界条件按三角极数展开后得

(27)

(28)

将式(27)及(28)代入式(24)取方程组的第2、4方程化简得如下方程组

(29)

3 数值验证与分析

为检验本文方法的有效性，利用Matlab软件对补强结构整体状态方程进行编程求解。结构尺寸如图2所示，其中修补区域长度l=80 mm。金属基板为飞机常用的LY12CZ铝合金，胶粘剂选用J150型环氧树脂胶粘剂，补片选用T300/E51碳/环氧复合材料，并且让0°纤维方向与最大主应力方向(x方向)一致。材料力学性能见表1。计算中取n=1,3,…,199时各力学量收敛较好。

表1 LY12CZ、T300/E51和J150的材料属性

用abaqus6.12建立补强结构的有限元模型，由结构的对称性，取其1/2进行建模，布全局种子，种子间距为0.5 mm，根据假设条件，各部分均采用8节点平面应变单元(CPE8)，通过Tie约束保证各界面节点间的位移协调，单元网格划分及边界条件如图3所示。

图3 T300/E51金属板复合材料单面补强结构网格划分及边界条件

图4为在端部应力为40 MPa时结构挠度分布规律，由于金属板在x=0及x=l两处简支，在受拉应力时，由于补片的存在，传载路径出现偏心，致使结构产生凹向下的弯曲变形，理论解析解与有限元数值解吻合较好。

图5为胶层剥离应力及剪切应力的理论解析解与有限元数值解在远端应力为40 MPa时的分布曲线，理论解析解与有限元数值解吻合较好，说明解析解正确合理。胶层剥离应力及剪切应力在靠近端部位置处均显著增大，所以对于胶层剥离及剪切主导的破坏模式最先发生失效的位置在补片端部。

图4 T300/E51金属板复合材料单面补强结构挠度分布

图5 胶层剥离应力及剪应力分布

根据推导出的解析模型研究补强结构中补片的力学行为，图6为不同位置处补片层间剪应力分布情况的理论解析解，括号内的数值表示所取位置的坐标值与总长的比值。从图6中可以看出，相同两层间的层间剪力随着坐标值与总长的比值的增大而增大，且第五层与第六层之间的层间剪力最大，说明这两层层间最易发生层间剪切为主导的破坏模式。

图6 补片层间剪力在厚度方向上的分布

图7为不同位置处纤维沿方向应力在补片厚度上的分布的理论解析解，从图7中可以看出，各位置处应力呈线性变化，且靠近端部位置处直线的斜率小于远离端部位置处的斜率，说明靠近端部位置处的应力在不同铺层间的应力分配差别较大，对于同一层而言，越靠近端部位置应力值也越大，说明补片端部更易出现纤维断裂为主导的破坏模式。

图7 补片面内应力在厚度方向上的分布

4 结论

(1)利用SSM建立了补强结构的状态方程，推导出了金属板复合材料单面补强结构任意一点处的应力、应变理论解析解;

(2)通过与有限元计算结果的对比表明，结构挠度、胶层剥离应力及剪切应力均与理论解析解吻合较好，理论解析模型正确、合理;

(3)利用解析模型研究了补强结构中补片的力学行为，结果表明，补片自由端易产生应力集中，补片层间剪力和面内应力均在自由端处取得了最大值，对于补片分层及纤维断裂主导的破坏模式均易发生在补片端部位置。

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