斜抛运动最大射程问题分析

刘尚昊

摘 要：本文着眼于讨论物体从一定高度被抛出后，其水平方向的最大射程与抛射角之间的关系，讨论了斜抛运动达到最大射程应满足的条件，并通过理论公式的证明和实际数据的测量，指出45°不再是能够得到最大射程的角度。本文通过具体计算了实际铅球抛出的最大射程和抛射角，并且随机取数进行了实验，从而得出了二者之间的关系，为斜抛运动的实际应用提供了力学理论依据。

关键词：斜抛运动 最大射程 抛射角 力学理论依据

中图分类号：O313 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）09（a）-0233-02

1 分部求导法

该分析方法需要经过两次的求导，通过判断导数的大小和倒数的解，判断能否取到最大的射程。将该物体在空中进行斜抛运动的时间假设为t，则可以得到物体在坐标轴X和Y方向的运动方程，如下：

X=v0tcosθ （1）

Y=H+v0tsinθ-1/2gt2 （2）

假设物体在经过时间T以后由斜抛运动落地，此时物体的坐标为x=R，y=0，此时上式（1）（2）则变为：

R=v0Tcosθ （3）

0=H+v0Tsinθ-1/2gT2 （4）

将上式联立起来，即可得出水平射程的表达式：

R={v0{sin2θ+[sin22θ+8gH/v02cos2θ]1/2}}/2g （5）

当物体落地后，H=0时，可以将上式化简为：

R=v02sin2θ/g （6）

假设物体的最大射程为Rm，在求解最大射程时使用导数求极值的方法，分析最大射程和抛射角度θ之间的关系，在求解时引入无量纲参数定义为Z：

Z=gH/v02

在进行求导时，令R对θ的一阶导数R=0，此时可以得到最后求解出结果为：

cos2θ=z/（1+z） （7）

然后对R进行二次求导，即可以推论出R的二阶导数是小于零的，因此可以得出R是能够取得最大值的。因此得出：

Rm=vo2（1+2z）1/2/g （8）

T=vo2/g[2（1+z）]1/2 （9）

θm=1/2arccos（z/1+z） （10）

根据上式当中的化简结果可知，决定最大射程的影响因素不仅包括抛射角度θ，还有无量纲参数Z，因此影响最大射程的参数还有距离地面的高度H和物体运动的初速度v0。由前文当中计算的公式可以得出，在一般情况下，假若物体做斜抛运动时的空中运动高度大于零，那么可以得出其无量纲参数也是大于零的，就可以得出满足最大射程时的抛射角度是小于或等于45°的结论[1]。因此通过公式可以得出最大射程同抛射角的关系。当物体运动时的无量纲参数为零时，即可以得到：

Rm=v02/g （11）

2 分解运动法

在进行力学问题的分析时，往往可以有多种分析方法进行问题的探讨。斜抛运动作为物理力学当中的经典问题，还能够使用“斜坐标系”的分析方法，即将原来的运动轨迹分解为两个运动的和运动，一个是沿初速度方向的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动[2]。

分解方式按照矢量三角形的方法，将运动方向分解为首尾相接的三角形状。分解运动的几何关系如图1中所示，可以用公式表示为：

R2=（v0tm）2-（1/2gtm2-H）2 （12）

由上式可以求出此时的最大运动时间同运动高度之间的关系，即当tm=v0[2（1+gH/vo2）]1/2或者tm=vo/g[2（1+z）]1/2时，R能够取最大值。根据三角函数公式，将最大值求解公式转化为三角函数表达式以后，再利用倍角半角转换公式，可以得出：

cos2θm=Z/1+Z （13）

即可以得到最终的抛射角度为：

θm=1/2arccos（Z/1+Z） （14）

由于物体进行斜抛运动时，其运动开始的初速度、初始抛射角度和初速度都不是一定的，因此不同的数值都会对最终的最大射程产生影响。在物体进行斜抛运动的过程当中，假若有一阶段的高度和初速度的大小都是一定的，那么可以采用引进无量纲参数Z的方式，然后将抛射角与最大射程之间的关系使用公式计算出来。

3 实际数据测量

本文为了证实理论的可行性，任意选取了一组数据进行了斜抛实验，实际测量了在物体运动过程当中，抛射角与水平射程之间的关系，具体数值如表1所示。

再改变实验时的物体运动初始速度v0，记录下当初始速度增加、最大抛射角变化时，水平射程的影响，具体数值如表2所示。

根据上述数据的测量可以得出，在高度和初速度的大小不发生变化的情况下，物体做斜抛运动时的水平射程是对称分布在最大抛射角两侧，呈中间高、两边低的趋势变化的，其变化的函数曲线是抛物线[3]。假若物体做斜抛运动时的初始高度H一定，那么当初速度逐渐增大时，物体的抛射角会趋近于45°。

因此综合上述分析，可以首先估算出当物体抛射角为45°时，此时的水平射程与测量出的最大射程的比值，理论计算公式为：

R45°/Rm=[1+（1+4Z）1/2]/[1+（1+2Z）1/2] （15）

此时显而易见地可以看出，由于公式当中的无量纲参数Z是大于零的，因此该比值的结果恒为小于1的数。假若令参数Z的值为1，并且取抛射角度数为30°，那么即求出最后的比值为0.93，证明上述推论是真实可信的。所以可以得出结论，当物体斜抛运动取得最大射程的时候，其抛射角应当是小于45°的。

4 结语

斜抛运动的应用范围十分广泛，不仅能够在导弹、枪弹研发时决定弹药射出的射程和轨迹，也能够为铅球运动员提供理论战术指导，提高运动员的成绩。综上所述，假若要使物体实现斜抛运动的最大射程，一方面要尽可能大地提升物体运动的初速度，另一方面还要选择好合适的抛射角度，根据不同场地的要求，以运动员或者设备自身的参数为基准，在準备阶段调整好影响斜抛运动的各个参数，从而保证能达到最大射程。

参考文献

[1] 琚鑫，岳凌月，王邦平.斜抛运动中射程问题的一般性讨论与数值计算[J].物理通报，2013（6）：118-120.

[2] 张明亮.斜抛运动中的射程问题[J].湖南中学物理，2011 （5）：45.

[3] 谢恩东.安全抛物线在解题中的应用——对斜抛运动的最大射程解法的一点补充[J].物理教师，2008，29（1）：34.